Как рассчитать средний возраст и ошибку среднего

Расчеты по определению средней величины и среднеквадратичного отклонения для сгруппированного вариационного ряда

(I—обычный
способ, II—способ
моментов)

Средняя
арифметическая имеет следующие свойства:

1. сумма
   отклонений от средней равна нулю (см.
   табл. 2, гр. 5);

2. при
   умножении (делении) всех вариант на
   один и тот же множитель (делитель)
   средняя арифметическая умножается
   (делится) на тот же множитель (делитель);

3. если
   прибавить (вычесть) ко всем вариантам
   одно и то же число, средняя арифметическая
   увеличивается (уменьшается) на то же
   число.

Эти
свойства могут быть использованы для
облегчения и упрощения
расчета средней арифметической.

Первое
свойство, например, служит обоснованием
для расчета средней
арифметической по способу моментов.

Как
видно из табл. 2 (гр. 5), сумма всех отклонений
вариант от средней
равна нулю (отклонение d
— это разность между каждой вариантой
и средней величиной, т. е. d
= V-M).
Поскольку в сгруппированном вариационном
ряду варианты имеют различную частоту,
то
каждая из них в итоге дает отклонения,
зависящие от этой повторяемости.
Следовательно, значение отклонения
варианты необходимо умножить на частоту,
а затем суммировать все эти произведения.
Каждая
варианта отклоняется от средней величины
в большую или меньшую
сторону со знаком «+» или «-». Эти значения
следует учитывать
при проведении вычислений. Сумма
отрицательных отклонений
равна -72,9, сумма положительных отклонений
составляет 72,9,
а итоговая сумма всех отклонений равна
нулю (Σdp
= 0). Это свидетельствует о том, что средняя
величина действительно есть общая
количественная характеристика данного
вариационного ряда, так как она
взаимоисключает, взаимоуничтожает все
отклонения. Это свойство
положено в основу вычисления средней
величины по способу
моментов. Значение средней определяется
по формуле
,
где
А
является
условной средней величиной. Если А
является
истинной средней, т. е. А = М, то сумма ее
отклонений будет равна
нулю, если же она не является истинной
средней, то сумма отклонений
будет иметь значение, отличное от нуля,
и явится основой для
определения поправки. В табл. 2 (II
способ) показаны этапы вычис­ления
средней величины по способу моментов
(А = 48). Из гр. 9 табл. 2 видно,
что сумма отклонений Σdp
равна 39. С учетом поправки легко определить
действительное значение средней
величины, подставив соответствующие
значения в формулу:

Таким
образом, полученное значение средней
арифметической
величины по способу моментов идентично
таковому, найденному обычным
способом.

При
выборе условной средней А
следует
ориентироваться на моду
или медиану.

Способ
моментов значительно упрощает расчеты
и делает их более
быстрыми.

Второе
свойство средней арифметической полезно
применять при
анализе вариационного ряда, состоящего
либо из очень больших, либо
из очень малых величин. Имеются, например,
варианты: 0,0001; 0,0002;
0,0003. Используя это свойство, увеличим
их в 10000 раз. Получим
величины 1, 2, 3. Средняя арифметическая
из них равна 2, а
искомая средняя арифметическая в 10000
раз меньше, т. е. 0,0002.

При
обработке вариационного ряда, состоящего
их положительных и отрицательных
значений, иногда бывает полезно прибавить
ко всем вариантам такое число, чтобы
сделать их все положительными.
Из полученного среднего результата эту
величину следует вычесть.
Например, имеются величины: +10, +5, -3, -1,
+6, -1, -2. Определим
среднюю арифметическую:

Чтобы
избавиться от отрицательных величин,
можно использовать
третье свойство средней арифметической,
т. е. прибавить к каждой варианте
определенное число, например, в нашем
случае 4. Тогда величины
приобретут следующий вид: 14, 9, 1, 3, 10, 3,
2. Их сумма равна
42. При делении на 7 получим 6. При вычитании
4 из 6 получим среднюю
арифметическую величину 2.

МЕТОДЫ
ОЦЕНКИ КОЛЕБЛЕМОСТИ РЯДА

И
ТИПИЧНОСТИ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

Средние
арифметические величины, взятые сами
по себе без учета колеблемости
рядов, из которых они вычислены, имеют
подчас ограниченное
значение. Средние — это величины, вокруг
которых рассеяны различные варианты,
поэтому понятно, что чем ближе друг к
другу отдельные
варианты по своей количественной
характеристике, тем меньше
рассеяние, колеблемость ряда, тем
типичнее его средняя. Одинаковые по
размеру средние могут быть получены из
рядов с различной
степенью рассеяния.

Приблизительно
о колеблемости можно судить по амплитуде
(размаху)
вариационного ряда — разности максимальной
и минималь­ной вариант. Символика
обозначения амплитуды: Am
= Vmax-Vmin.

Основной,
общепринятой мерой колеблемости
вариационного ряда
является среднее квадратическое
отклонение, обозначаемое греческой
буквой σ (сигма малая).

Чем
больше среднее квадратическое отклонение,
тем, следовательно,
степень колеблемости данного ряда выше.
Так, при определении средней длительности
послеоперационного лечения аппендицита
в двух больницах были получены следующие
результаты:

Больница 1	Больница 2
М=9 дней	М=9 дней
σ =±2 дня	σ =±4 дня

Средняя
длительность лечения в обеих больницах
одинакова. Однако в первой больнице
сроки послеоперационного лечения у
отдельных
больных были близки к 9 дням. Во второй
больнице колебания были
значительнее, отсюда и среднеквадратическое
отклонение здесь больше,
и следовательно, полученная средняя
величина послеоперационного
периода является менее типичной, чем в
первой больнице.

Среднее
квадратическое отклонение характеризует
среднее отклонение
всех вариант вариационного ряда от
средней арифметической
величины. Поскольку отклонения вариант
от средней, как было
сказано выше, имеют значения с «+» и «-»,
то при суммировании
они взаимоуничтожаются. Чтобы избежать
этого, отклонения возводятся
во вторую степень, а затем, после
определенных вычислений,
производится обратное действие —
извлечение корня квадратного. Поэтому
среднее отклонение именуется
квадратическим.

Среднее
квадратическое отклонение определяют
по формуле:

Ход
вычислений при определении
среднеквадратического отклонения
следующий:

1. возвести
   каждое отклонение d
   во
   вторую степень;

2. умножить
   квадрат каждого отклонения d²
   на
   соответствующую
   частоту р;

3. суммировать
   полученные произведения Σd²p
   ;

4. разделить
   данную сумму на количество вариант,
   входящих в
   вариационный ряд n
   (при числе наблюдений менее 30 сумма
   делится
   на n-1);

5. извлечь
   квадратный корень из полученного
   частного.

Расчеты
представлены в табл. 2 (I
способ). Подставив полученные значения
в формулу, находим среднеквадратическое
отклонение:

При
вычислении среднеквадратического
отклонения по способу
моментов используется следующая формула:

В
чем суть этой формулы? Как видно, первая
часть данного подкоренного выражения
полностью
идентична вышеприведенной
формуле вычисления среднеквадратического
отклонения обычным
способом
.
Однако необходимо указать, что отклонения,
находимые для условной средней А,
заведомо
будут ошибочными, т. е. отличными от
отклонений, которые определяются для
фактической средней
М.
Учитывая
это обстоятельство, в формулу вносится
поправ­ка, которая определяется для
условной средней А.
Эта
поправка назы­вается
моментом первой степени
.
Для
разбираемого нами случая она
равна + 1,3
(см. с. 11).
Поскольку поправка вносится в подкоренное
выражение,
то она возводится во вторую степень.

Первая
часть формулы
называется моментом второйстепени,
т. к. отклонение d
возведено
во вторую степень.

Таким
образом, формула вычисления
среднеквадратического отклонения
по способу моментов будет читаться как
корень квадратный
из
разности момента второй степени и
квадрата момента первой степени.

Определим
среднеквадратическое отклонение по
способу моментов
для рассматриваемого
нами примера (табл. 2). Подставив значения
в формулу,
находим:

Результаты
вычисления среднеквадратического
отклонения обычным способом и способом
моментов идентичны. Однако, как указывалось
выше, второй способ значительно убыстряет
и упрощает
расчеты.

Итак,
нахождение среднеквадратического
отклонения позволяет
судить о характере однородности
исследуемой группы наблюдений. Если
величина среднеквадратического
отклонения небольшая, то
это свидетельствует о достаточно высокой
однородности изучаемого
явления. Среднюю арифметическую в таком
случае следует признать
вполне характерной для данного
вариационного ряда. Однако
слишком малая величина сигмы заставляет
думать об искусственном
подборе наблюдений. При очень большой
сигме средняя арифметическая в меньшей
степени характеризует вариационный
ряд,
что говорит о значительной вариабельности
изучаемого признака
или явления или о неоднородности
исследуемой группы.

Оценка
степени рассеяния вариант около средней
может быть произведена с помощью
коэффициента вариации, вычисляемого
по формуле:

Значения
коэффициента вариации С менее 10%
свидетельствует
о малом рассеянии, от 10 до 20% — о среднем,
более 20% — о сильном
рассеянии вариант вокруг средней
арифметической.

Возвращаясь
к нашему примеру (табл. 1 и 2), дадим
характеристику
изучаемому вариационному ряду.

Амплитуда
этого вариационного ряда равна 22 годам
(61-39 = 22),

σ
=±5,64,
.

Расчеты
свидетельствуют о среднем рассеянии
вариант, следовательно, средняя
арифметическая величина вполне типична,
а исследуемая
группа наблюдений является достаточно
однородной.

Коэффициент
вариации часто используется при оценке
колеблемости рядов различных признаков,
например, веса и роста. Непосредственное
сравнение сигм в данном случае невозможно,
т. к. среднеквадратическое
отклонение — величина, именованная и
выраженная абсолютным числом. Предположим,
что при изучении физического
развития группы подростков коэффициент
изменчивости для веса составил 9,7%, а
для роста — 4,6%. Эти цифры можно сравнить
и сделать заключение, что в данном
примере рост является более
устойчивым признаком, чем вес.

Определение
среднеквадратического отклонения
представляет
немалую ценность для медицинской науки
и практики. При диагностике
отдельных заболеваний очень важно
оценить на основании конкретных
исследований, какие признаки проявляются
у соответствующей
группы больных относительно одинаково,
с небольшими колебаниями,
а для каких признаков характерны большие
индивидуальные
колебания. Очень широко используется
это свойство при оценке
физического развития отдельных групп
населения, при выработке
стандартов школьной мебели и т. д.

Согласно
теории вероятности в явлениях,
подчиняющихся нормальному
закону распределения, между значениями
средней арифметической, среднеквадратического
отклонения и вариантами существует
строгая зависимость (правило трех сигм).
Например, 68,3% значений
варьирующего признака находятся в
пределах М ± 1σ , 95,5% — в пределах М ± 2σ
и 99,7% — в пределах М ± Зσ .

Данные,
полученные эмпирически, не всегда строго
совпадают с
теоретическими, но они тем ближе к ним,
чем больше число наблюдений
и однороднее их состав.

Более
подробно о применении правила трех сигм
можно познакомиться
в руководствах или пособиях по медицинской
статистике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОШИБКИ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ

Полученная
средняя арифметическая М
при
повторных исследованиях
под влиянием случайных явлений может
колебаться на ту или иную
величину. Это обусловлено тем, что
исследуется, как правило,
только
часть изучаемых явлений, то есть
выборочная совокупность. Сумма же всех
единиц, представляющих изучаемое
явление, называется генеральной
совокупностью. Результаты, полученные
на основе
выборочной совокупности, как правило,
переносятся на генеральную
совокупность. Чтобы определить степень
точности выборочного
наблюдения, необходимо оценить величину
ошибки, которая может
случайно произойти в процессе выборки.
Такие ошибки носят название
случайных ошибок репрезентативности
т
или
средней ошибки
средней арифметической. Они фактически
являются разностью
между средними числами, полученными
при выборочном статистическом
наблюдении, и аналогичными величинами,
которые были бы
получены при сплошном исследовании
того же объекта (т. е. при исследовании
генеральной совокупности).

Ошибки
репрезентативности нельзя смешивать
с ошибками регистрации или ошибками
внимания (описки, просчеты, опечатки и
др.), которые должны быть сведены до
минимума.

Ошибки
репрезентативности вытекают из самой
сущности выборочного
исследования. С помощью ошибок
репрезентативности числовые характеристики
выборочной совокупности распространяются
на всю генеральную совокупность, то
есть она характеризуется с учетом
определенной погрешности.

Величины
ошибок репрезентативности определяются
как объемом
выборки, так и разнообразием признака.
Чем больше число наблюдений,
тем меньше ошибка, чем больше изменчив
признак, тем больше
величина статистической ошибки.

На
практике для определения средней ошибки
выборки в статистических
исследованиях пользуются следующей
формулой:

где
m
— ошибка репрезентативности

σ
— среднее квадратическое отклонение;

n
— число наблюдений в выборке (при числе
наблюдений менее 30
в подкоренное выражение вносится
значение п-1).

Из
формулы видно, что размер средней ошибки
прямо пропорционален
среднему квадратичному отклонению, т.
е. вариабельности изучаемого
признака, и обратно пропорционален
корню квадратному из
числа наблюдений.

Для
рассматриваемого нами случая ошибка
репрезентативности равна:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ

Определение
величины ошибки репрезентативности
необходимо для нахождения
возможных значений генеральных
параметров. Оценка генеральных параметров
проводится в виде двух значений —
минимального и максимального. Эти
крайние значения возможных отклонении,
в пределах
которых может колебаться искомая средняя
величина генерального
параметра, называются доверительными
границами.

Согласно
теории вероятностей можно предположить
с достоверностью в 99,7%, что эти крайние
значения отклонений будут не больше
величины
утроенной ошибки репрезентативности
(М ± Зm);
в 95,5% — не больше
величины удвоенной средней ошибки
средней величины (М
± 2m);
в 68,3% — не больше величины одной средней
ошибки (М±1m).

ПРИМЕЧАНИЕ.
При малой выборке (менее 30) величину
доверительного
коэффициента необходимо определять
каждый раз в зависимости от числа
наблюдений по таблице Стьюдента.

Предположим,
что с учетом аналогичных условий будут
повторяться
исследования на выявление среднего
возраста больных с инфарктом
миокарда, которое было взято нами в
качестве примера, так
как, естественно, количество больных
инфарктом не замкнется количеством 30
человек. Можно ожидать, что полученные
при этом средние,
хотя бы и близкие по величине, все же
будут отличаться друг от
друга. Используя методику определения
доверительных границ, нетрудно
найти возможные колебания среднего
возраста больных инфарктом
миокарда. В медико-биологических
исследованиях чаще всего
используется 95% вероятность. Таким
образом, с учетом двойной
ошибки репрезентативности, если будут
продолжаться исследования
по определению среднего возраста больных
инфарктом миокарда,
можно определить, что средний возраст
будет находиться в пределах
следующих возрастных периодов: от 47,3
до 51,3 лет.

Таблица
3

Таблица
значений критерия t
(Стьюдента)

Расчеты
по определению доверительных границ в
этом случае выглядят следующим образом:

М±2m=49.3±2*1.0=49.3±2.0=47.3-51.3
(лет)

ПРИМЕЧАНИЕ:
В руководствах по санитарной статистике
средняя величина генеральной совокупности
обозначается
,
а выборочной –

ПОНЯТИЕ
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРИЗНАКА

В
СТАТИСТИЧЕСКОЙ СОВОКУПНОСТИ

Элементы,
составляющие статистическую совокупность,
имеют различные
по величине значения изучаемого признака,
и каждое из этих значений
встречается в группе с неодинаковой
частотой. Зависимость
между значением величины признака и
частотой, с которой оно встречается,
называется характером распределения
признака. Его можно
определить только на достаточно большой
совокупности наблюдений.
Изучая характер распределения признака,
получают важную
информацию о закономерностях, присущих
тому или иному явлению,
а также возможность правильно выбрать
статистические критерии
для анализа и обобщения.

Типы
распределения статистической совокупности

В
медицинских исследованиях встречаются
разные по характеру
распределения: альтернативный, нормальный
(симметричный), асимметричный
(правосторонний, левосторонний, двугорбый
— бимодальный) и др. На рисунке показаны
основные типы распределения статистической
совокупности.

Чаще
других типов встречается нормальное
распределение, которое в статистике
называют еще распределением Гаусса.
Оно характеризуется
не только симметричностью, но также
«ниспадающими» концами
кривой распределения. При таком
распределении признака в вариационном
ряду мода, медиана и средняя арифметическая
практически
совпадают по значению. Нормальный
характер распределения обычно
наблюдается в рядах, вариантами которых
являются количественные
признаки: рост, масса тела, уровень
артериального давления, сроки
госпитализации и др. Следует также
отметить, что с помощью критерия
Стьюдента t
можно сравнивать вариационные ряды
именно с нормальным
характером распределения признака.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЙ

СРЕДНИХ
ВЕЛИЧИН

В
научно-исследовательской практике
часто бывает необходимо сравнение
двух средних арифметических величин,
например, при сравнении
результатов в контрольной и экспериментальной
группах, при сравнении
показателей здоровья населения в
различных местностях за различные
годы и т. д.

Применяемый
метод оценки достоверности средних
величин позволяет установить, насколько
выявленные различия существенны,
то есть носят ли они достоверный характер
или являются результатом
действия случайных причин.

В
основе метода лежит определение так
называемого критерия Стьюдента
t
(коэффициента достоверности). Величина
его определяется
отношением разности сравниваемых
средних величин к ошибке
их разности. Ошибка разности равна корню
квадратному из суммы квадратов
средних ошибок сравниваемых величин
.

Таким
образом, коэффициент достоверности
определяется по формуле:

2
где
М₁
— средняя величина первого
исследования;

М₂
— средняя величина второго исследования;

m₁
и m₂
— ошибки репрезентативности сравниваемых
средних величин.

Критерий
достоверности t
указывает, во сколько раз разность
сравниваемых
средних превышает их ошибку. При различных
значе­ниях
критерия существует определенная мера
надежности, которая говорит
о существенности, достоверности
выявленных различий между
сравниваемыми средними.

В
медико-биологических исследованиях
достаточно иметь значение
t,
равное или больше 2, тогда выявленные
различия не случайны, достоверны,
статистически подтверждены (с вероятностью
более 95%).
Если значение критерия меньше 2, то
разница не доказана, носит
случайный характер, статистически не
подтверждается (вероятность
менее 95%).

Пример.
У
47
больных
с хронической пневмонией с легочной
недостаточностью
I
степени среднее количество циркулирующей
крови M₁
составило 6,64 л (m₁
= ±0,17 л). В контрольной группе (56 человек)
эти
показатели составили: М₂
= 6,12 л, m₂
= ± 0,13 л.

Разность
среднего количества циркулирующей
крови у больных хронической пневмонией
I
стадии и контрольной группы оказалась
вполне убедительной:

При
числе наблюдений в каждой группе менее
30 коэффициент достоверности необходимо
каждый раз определять по таблице
Стьюдента.

ОЦЕНКА
ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ

СТАТИСТИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ

ПРИ
ИСПОЛЬЗОВАНИИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Определение
средней ошибки для относительных
показателей производится
по формуле:

где
Р
— величина относительного
показателя;

q
— величина, обратная Р и выраженная как
(1-Р), (100-Р), (ЮОО-Р)
и т. д., в зависимости от основания, на
которое рассчитан показатель;

n
— число наблюдений в выборочной
совокупности (для числа наблюдений
менее 30 берется n-1).

Зная
средние ошибки относительных показателей,
по аналогии со
средними арифметическими величинами
можно определять доверительные границы
генеральной совокупности и использовать
метод оценки
достоверности разности этих показателей.
При этом используется следующая формула.

Пример.
В
городе А со 135000 населения заболело
гриппом 1600 человек,
в городе Б с 68000 населения заболело 500
человек. Заболеваемость
на 1000 человек в городе А составила 11,85,
в городе Б — 7,35. Требуется
определить, является ли преобладание
заболеваемости гриппом
в городе А случайным или оно определяется
какими-то причинами,
предположим, санитарно-эпидемиологического
характера.

Находим
средние ошибки показателей:

Определяем
коэффициент достоверности:

Показатель
достоверности значительно превышает
значение t
> 2, при
котором разница признается достоверной.
Следовательно, уровни заболеваемости
в городах А и Б носят неслучайный
характер. Необходимо
найти причины, способствующие более
интенсивному распространению гриппа
в городе А.

Следовательно,
для определения доверительных границ
значения
средней арифметической генеральной
совокупности
используют формулу: ,

а
для относительных показателей эта
формула
имеет вид:.

,

Вопросы
для самопроверки

1. С
   какой целью используются в медицинских
   исследованиях средние величины
   и их параметры?

2. Перечислите
   основные направления в медицинских и
   социально-гигиенических
   исследованиях, где широко используются
   средние величины.

3. Дайте
   определение средней величины.

4. Какие
   требования предъявляются при работе
   со средними величинами?

5. Дайте
   определение вариационного ряда.

6. Какие
   типы количественных вариаций различают?

7. Какие
   учетные признаки можно использовать
   для построения вариационного
   ряда и расчета средней арифметической?

8. Назовите
   основные элементы вариационного ряда.

9. Как
   вычисляется средняя арифметическая
   простая?

10. Как
    вычисляется средняя арифметическая
    взвешенная?

11. Назовите
    основные свойства средней арифметической
    величины.

12. Какие
    особенности лежат в основе расчетов
    средней арифметической величины по
    способу моментов?

13. Что
    такое среднее квадратическое отклонение
    и его значение?

14. Укажите
    особенности, на которых основано
    вычисление среднего квадратического
    отклонения по способу моментов.

15. Роль
    коэффициента вариации и его применение.

16. Понятие
    о достоверности полученных данных
    (ошибка репрезентативности).

17. Чем
    определяется величина ошибки
    репрезентативности?

18. Какова
    формула ошибки (т) для относительных
    показателей?

19. Как
    определяются доверительные границы
    средней в генеральной совокупности
    и с какой целью?

20. Как
    определяется достоверность различий
    средних величин, для каких
    целей?

21. Как
    определяется достоверность различий
    относительных показателей?

Вариант
1

А.
В районе N,
где расположена тепловая электростанция,
в одной из точек жилого поселка было
взято 125 проб атмосферного воздуха,
в результате чего установлено, что
средняя концентрация пыли
составляла 0,26 мг/м³,
σ₁
=
±0,08 мг/м³
, m₁
= ±0,007 мг/ м³

После
введения золоуловителя количество пыли
измерялось следующими
цифрами: 0,09 мг/м³
— 2 раза, 0,08 мг/м³
— 2 раза, 0,15
мг/м³
—16 раз, 0,12мг/м³
—14раз, 0,14мг/м³
— 30 раз, 0,16 мг/м³
— 4
раза, 0,13 мг/м³
— 16 раз, 0,11
мг/м³
— 9 раз, 0,10 мг/м³
— 5 раз, 0,17 мг/м³
—2 раза.

Составьте
ранжированный сгруппированный
вариационный ряд.
Определите, достоверно ли уменьшение
среднесуточной концентрации пыли после
введения в действие золоуловителя?

Б.
Сравните характер разнообразия веса у
новорожденных, детей первого года жизни
и семилетних, если известны следующие
параметры:

Возраст	Средний вес (М), кг	σ, кг
Новорожденные	3,4	± 0,5
1 год	10,5	± 0,8
7 лет	22,9	± 2,7

В.
Группа больных в количестве 130 человек
применяла при лечении
лекарственный препарат Z
в течение 5 дней. У 106 человек наступило
полное выздоровление. Определите
доверительные границы
с вероятностью безошибочного прогноза
(р = 95%), при которых может
наступать выздоровление больных.

Вариант
2

А.
В N-ской
районной больнице в истекшем календарном
году число дней занятости койки в году
было представлено следующем образом:
4 койки — 285 дней, 4 — 290, 8 — 295, 8 — 300, 16 —
315, 20
— 320, 24 — 325, 40 — 330, 50 — 335, 24 — 340, 20 — 347,
10 — 350,8
— 355,4 — 360.

Составьте
сгруппированный вариационный ряд.
Определите среднегодовую
занятость койки. Определите также,
достоверно ли отличается показатель
среднегодовой занятости койки в больнице
N-ского
района от аналогичного показателя
больницы соседнего района, если известно,
что он составлял 341 день (m
= ± 3,5дня).

Б.
Сравните характер разнообразия
лабораторных анализов с различной
размерностью, которые приведены ниже:

Наименование теста	Средний показатель	σ
Общий белок крови, мг%	6,8	± 0,4
СОЭ, мм/ч	9	± 2
Лейкоциты	8000	± 800

В.
При обследовании 280 учащихся 3-х классов
пяти школ района
К у 64 из них было обнаружено нарушение
осанки. Определите
доверительные границы (р = 95%) частоты
нарушения осанки у школьников
третьих классов остальных школ района
К.

Вариант
3

А.
При обследовании группы школьников 4-х
классов сельского района
А было установлено, что в среднем на
одного человека приходится
2,98 кариозных зуба (m
= ±0,26).
При обследовании аналогичной
группы школьников в районе Б были
получены следующие
результаты: 2 человека имели по 5 кариозных
зубов, 28 — по 1, 8
— по 4,1 — 8, 20 — по 3,16 — по 2 и 6 человек
не имели пораженных кариесом
зубов.

Составьте
ранжированный сгруппированный
вариационный ряд.
Определите интенсивность поражения
кариесом школьников района Б и установите,
достоверно ли она отличается от такого
же показателя
в районе А.

Б.
Сравните характер разнообразия
антропометрических данных
у мальчиков 7-летнего возраста, которые
представлены ниже:

Показатель	М	σ
Рост, см	123,4	± 4,9
Вес, кг	24,2	± 3,1
Окружность грудной клетки, см	60,1	± 2,5

В.
При выборочном обследовании 220 рабочих
одного из промышленных предприятий у
47 из них были выявлены гастроэнтерологические
заболевания. Определите доверительные
границы (р=95%)
возможной частоты гастроэнтерологических
заболеваний среди
всех работающих на предприятии.

Вариант
4

А.
Перед сдачей экзамена по гигиене у
студентов определялась
частота пульса. Были получены следующие
данные: у 2 студентов
— 76 ударов в минуту, у 3 — 80, у 4 — 108, у 2
— 116, у 20 — 88, у
6—98, у 17 —86, у 11 —92.

Составьте
вариационный ряд. Определите среднюю
частоту пульса
у студентов перед экзаменом. Определите
также, достоверно ли отличается показатель
частоты пульса перед экзаменом от
частоты
пульса у этих же студентов после
экзаменов, если известно, что она
составляла 72,4 (m
= ± 3,0).

Б.
Сравните характер разнообразия
антропометрических данных у девушек
17-летнего возраста, которые представлены
ниже:

Показатель	М	σ
Рост, см	161,2	± 5,1
Вес, кг	55,8	± 7,2
Жизненная емкость легких, см3	3400	± 250

В.
Было осмотрено 185 учеников 5-х классов.
У 26 из них обнаружена
миопия. Определите доверительные границы
(р = 95%) возможной
частоты близорукости у школьников 5-х
классов в школах данного района.

Вариант
5

А.
Исследовалась длительность лечения
больных пневмонией в стационаре
центральной районной больницы N-ского
района. Были получены
следующие результаты: 25 дней лечилось
2 больных, 26 —1, 11
—1, 12 —1,23 —3, 13 — 1,21
— 3,24 — 1,22 — 3, 14 — 2,20 — 5, 15 — 2, 16 — 3, 17 —
4, 19 — 8, 18 — 7. Составьте ранжированный
сгруппированный
вариационный ряд. Рассчитайте по способу
моментов среднюю
длительность лечения пневмонии.
Определите, достоверно ли
отличается средняя длительность лечения
пневмонии от аналогичного
показателя соседнего района, если
известно, что она составила 23
дня (m
= ± 1,3
дня).

Б.
Сравните характер разнообразия
антропометрических данных у 12-летних
мальчиков:

Показатель	М, см	σ, см
Рост	142,0	± 8,5
Окружность грудной клетки	66,0	± 4,0
Окружность головы	50,0	± 2,0

В.
Исследовано 110
больных абсцессом легкого, у 36 из них
обнаружена
дистрофия пародонта. Определите
доверительные границы
(р = 95%) возможной частоты дистрофии
пародонта при абцессе легкого.

Вариант
6

А.
Исследовалась длина тела новорожденных
девочек по дан­ным
родильного дома. Были получены следующие
данные: у 8 дево­чек рост составил 48
см, у 6 — 51, у 7 — 53, у 1 — 49, у 9 — 52, у 8 —
50,
у 1 — 47, у 2 — 46, у 2 — 54, у 1 — 55, у 1 — 56.
Составьте ранжированный сгруппированный
вариационный ряд, определите среднюю
длину тела новорожденных девочек и
достоверно ли она отличается от длины
тела новорожденных мальчиков, если по
данным
этого же родильного дома мальчики имели
среднюю длину тела 51
см(m=
±2,3 см).

Б.
Сравните характер разнообразия
антропометрических данных
у 12-летних девочек:

Показатель	м	σ
Рост, см	140	± 9,5
Масса тела, кг	40	± 6
Жизненная емкость легких, см	2300	± 460

В.
При выборочном обследовании 150 ткачих
хлопчатобумажного комбината у 32 из них
обнаружена гинекологическая патология.
Определите
доверительные границы (р = 95%) возможной
частоты гинекологической патологии у
всех работниц этого комбината

Была ли эта статья полезной?

Пример выполнения расчетного задания по статистике

Имеются следующие выборочные данные службы занятости о времени поиска работы 30 безработными одного из районов города (выборка 1%-ная, механическая):

Задание 1

По исходным данным:

1) постройте Статистический ряд распределения по признаку возраст безработного, образовав 4 группы с равными интервалами;

2) графическим методом и путем расчетов определите значения Моды и Медианы полученного ряда распределения;

3) рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: Среднюю арифметическую, Среднее квадратическое отклонение, Коэффициент вариации.

Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания;

4) вычислите Среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Задание 2

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 опре­делите:

1) ошибку выборки среднего возраста безработных в районе и гра­ницы, в которых будет находиться средний возраст безработных в целом по району;

2) ошибку выборки доли безработных в районе в возрасте до 50 лет и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение задания 1

1.1.  Построение интервального ряда распределения безработных по возрасту

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение безработных по возрасту, необходимо вычислить Величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала H определяется по формуле

, (1)

Где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, K – число групп интервального ряда.

Число групп K задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г. Стерджесса

K=1+3,322 Lg N, (2)

Где N – число единиц совокупности. По условиям задания k=4.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных K = 4:

XmaX = 61 год, Xmin = 17 лет

Лет.

При H = 11 границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число безработных, входящих в каждую группу (Частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов. Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять По принципу полуоткрытого интервала. Т. к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и Нижняя, и Верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Возраст безработного представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Таблица 3

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая Интервальный ряд распределения безработных по возрасту.

Таблица 4

Распределение безработных по возрасту

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 – 6 табл. 1.4. Это Частоты групп в относительном выражении, Накопленные (кумулятивные) частоты Sj, Получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и Накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности безработных показывает, что распределение безработных по возрасту не является равномерным: преобладают безработные в возрасте от 28 до 39 лет (это 10 безработных, доля которых составляет 33%), почти в два раза меньше (17%) старшая возрастная группа (от 50 лет до 61 года); группы от 17 до 28 лет и от 39 до 50 лет отличаются не так заметно (23% и 27% соответственно).

1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются Структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности[1]. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается Центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3)

Где ХМo – нижняя граница модального интервала,

H –величина модального интервала,

FMo – частота модального интервала,

FMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

FMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 28 – 39 лет, так как его частота максимальна (f2 = 10).

Расчет моды по формуле (3):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности безработных наиболее распространенный возраст характеризуется средней величиной 34,4 года.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

Где ХМе– нижняя граница медианного интервала,

H – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

FМе – частота медианного интервала,

SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота Впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т. е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал 28 – 39 лет, так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 17 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы по формуле (4):

33,5 года

Вывод. В рассматриваемой совокупности, половина безработных имеют возраст в среднем не более 33,5 лет, а другая половина – не менее 33,5 лет.

1.3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, Vσ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней арифметической взвешенной:

лет (5)

Расчет дисперсии:

(6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

Расчет коэффициента вариации:

(7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний возраст безработных составляет 37,5333 лет, отклонение от среднего возраста в ту или иную сторону составляет в среднем 11,1758 лет (или 29,78%), наиболее характерные значения среднего возраста безработных находятся в пределах от 26,3575 до 48,7092 (диапазон ).

Значение Vσ = 29,78% не превышает 33%, следовательно, вариация возраста в исследуемой совокупности безработных незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=37,5333 лет, Мо=34,4 года, Ме=33,5 лет), что подтверждает вывод об однородности по возрасту совокупности безработных. Таким образом, найденное среднее значение возраста безработных (37,5333 лет) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности безработных.

1.4. Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти безработных, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 опре­делите:

1) ошибку выборки среднего возраста безработных в районе и гра­ницы, в которых будет находиться средний возраст безработных в целом по району;

2) ошибку выборки доли безработных в районе в возрасте до 50 лет и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

1. Определение ошибки выборки для Среднего возраста безработных в районе и гра­ницы, в которых будет находиться генеральная средняя

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с Установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т. е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют Ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок — среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки – это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т. е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается Дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от Вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

, (15)

Где – общая дисперсия выборочных значений признаков,

N – число единиц в генеральной совокупности,

N – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

, (16)

Где – выборочная средняя,

– генеральная средняя.

Границы задают Доверительный интервал генеральной средней, т. е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют Доверительной вероятностью Или Уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0,954, Р= 0,997, Реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки кратна средней ошибке µ с Коэффициентом кратности T (Называемым также Коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

(17)

Значения T вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и Протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р Значения T задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

По условию демонстрационного примера выборочная совокупность насчитывает 30 безработных, выборка 1% механическая, следовательно, Генеральная совокупность включает 3000 безработных. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

36,8-2,0736,8+2,07,

34,73 лет 38,87 лет.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования среднего возраста безработных в районе с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности безработных средний возраст находится в пределах от 34,73 лет до 38,87 лет.

2. Определение ошибки выборки для Доли безработных в районе в возрасте до 50 лет и границы, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

Где M – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

N – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

, (19)

Где W – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-W) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

N– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля Р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является не Превышение среднего возраста безработных 50 лет.

Число безработных с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

M=25

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,8333-0,0677<=p<=0,8333+0,0677

Или

76,56% <= p<=90,10%

Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности безработных доля безработных в возрасте до 50 лет будет находиться в пределах от 77% до 90%.

[1] Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным), что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.

Did this article help you?