Метод проб и ошибок в математике 5 класс правило

 «Метод проб и
ошибок»

Основные цели:

Предметные:

1) Сформировать представление о методе проб и ошибок,
умение использовать его в простейших случаях для решения уравнений.

2) Тренировать умение решать составные уравнения.

 
Ход урока:

1 Мотивация к учебной
деятельности.

Приветствие. Настрой на работу

2. Актуализация знаний

  
Все задания учащиеся выполняют
на индивидуальных карточках.

— Начнём работать по плану,
какой первый шаг? (Повторяем ранее изученное.)

  
На доске карточка с заданием № 1

– Подберите корень уравнения: . (5.)

–
Объясните способ решения, который вы использовали. (…)

–
А есть ли у этого уравнения другие корни? (…)

  
На доске карточка с заданием № 2

 

– Вспомните, как была построена математическая модель
задачи 3.

  
Учащиеся показывают результаты
выполнения задания, проводится, если необходимо коррекция ошибок, выбирается
одна из предложенных моделей: х(х + 3) = 70.

— Какой
из предложенных алгоритмов (алгоритмы висят на доске) вы использовали при
построении данной модели?

  
Учащиеся выбирают алгоритм и
обосновывают свой выбор.

— Что вы
сейчас повторили? (Алгоритм построение математической модели по тексту задач
третьего типа, решение уравнений способом подбора.)

— К
какому пункту плана вы можете приступать? (К рассмотрению пробного задания.)

– Решите задачу 3, используя построенную математическую
модель.

— На
какие вопросы вам надо ответить прежде, чем пробовать выполнить задание? (Что
нового в этом задании, какая наша цель, какая тема урока.)

—
Обсудите в группах эти вопросы и подготовьте на них ответы.

  
На работу группам отводится 1
минута. Затем одна группа представляет свой вариант ответов, а другие группы
дополняют, корректируют ответ.

Вариант ответа: надо решить
задачу, но сначала надо решить уравнение, в котором оба множителя не известны,
тема: «Решение задач третьего типа».

  
Если работа в группах будет
затруднена, организовать подводящий диалог.

— Что
нового в задании?

— Какая
цель стоит перед вами?

— В чём
особенность, получившего уравнения?

—
Сформулируйте тему урока.

— Что
теперь надо сделать? (Попробовать выполнить задание.)

—
Внимание задание: решите уравнение, которое является моделью задачи.

  
На работу отводится 1 минута.
Учащиеся показывают свои результаты.

Вариант первый: учитель
фиксирует, что нет ответов.

— Что
показало пробное задания? (Мы не смогли решить уравнение, в котором оба
множителя не известны.)

Вариант второй: учитель
фиксирует, что нет правильных ответов.

—
Сформулируйте своё затруднение. (Мы не смогли правильно решить уравнение, в
котором оба множителя неизвестны.)

Вариант третий: учитель
фиксирует, что есть правильные ответы.

— Вы
можете доказать, что вы правильно решили уравнение? (Да, подставить найденное
число в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.)

— А
объяснить, почему именно так надо решать уравнение, как вы это делали, и вы
можете доказать, что других корней нет, ведь произведение равно 70 если
множители равны 7 и 10 или 2 и 35, или 5 и 14? (Нет.)

— Что вы
не можете сделать? (Мы не можем обосновать свои действия при решении уравнения,
не можем доказать, что других корней нет.)

— Что
теперь вы должны сделать? (Подумать, почему так получилось.)

3. Выявление места и причины затруднения

– Какое задание вы должны были выполнить? (Решить
уравнение .)

— Как вы
пробовали решать уравнение? (Пробовали использовать алгоритм, который построили
на прошлом уроке, пробовали подбирать.)

— В каком
месте у вас возникло затруднение? (В уравнении, для которого был построен
алгоритм, неизвестны два слагаемых, а в данном уравнении два множителя,
преобразование левой части не дало результата, подобрать корень не хватило
время, трудно, не знаем, как доказать, что других корней нет.)

– Почему вы не смогли решить, получившееся уравнение, или
не можете доказать, что решали правильно, и других корней нет? (У нас нет
способа решения уравнений, в котором неизвестны оба множителя.)

– Получившееся уравнение является моделью, какого типа
задач? (Третьего типа.)

– Значит, если вы не можете решить уравнение, вы сможете
решить задачу? (Нет, не сможем.)

— Какие
следующие шага вы должны предпринять? (Мы должны уточнить цель нашей работы,
составить план действий.)

4. Построение
проекта выхода из затруднения

– Уточните цель деятельности? (Найти способ решения
уравнений, составленного по формуле произведения, и в котором оба множителя
неизвестны.)

– Что вам даст умение решать уравнения такого вида?
(Решать задачи третьего типа.)

— Каким
способом вы можете решить это уравнение? (Способом подбора.)

—
Составьте план действий. (Подобрать корни, найти способ для доказательства, что
других корней нет.)

5. Реализация
построенного проекта

  
Дальше можно организовать работу
в группах. Группы работают по предложенному плану в течение 3 минут. Затем одна
из групп по желанию выставляет свою версию, и обосновывает её. Остальные группы
либо высказывают согласие с этой версией, либо поясняют, чем и почему их
вариант отличается от других. Во время ответа группы учитель фиксирует способ
поиска решения. Поиск способа доказательства, что других корней нет, может вызвать
затруднение.

  
Возможный вариант ответа детей:
угадываем корень, делаем проверку, если угадали, то записываем ответ, если не
угадали, т.е. при проверке не получили верное равенство, то угадываем дальше.

– А как можно ещё найти решение уравнения, но так, чтобы
не сидеть, и не гадать корень? (Можно брать любые числа и проверять: являются,
взятые числа корнями уравнения или нет, подставляя их вместо переменной.)

— И до
каких пор будете брать числа? (Пока не найдём корень уравнения.)

– Молодцы! Вы, верно, указали один из методов решения
таких уравнений. Попробуйте дать название такому методу.

  
Учащиеся предлагают свои
варианты. В итоге учитель вводит название метода «метод проб и ошибок».

– Приведите пример из жизни, где используется метод проб
и ошибок. (…)

– Вы нашли, что x = 7. Как доказать, что других
корней нет?

  
Доказательство проводится в
беседе с учащимися.

— Другие
корни, если они есть либо меньше 7, либо больше 7. Исследуйте, каким будет x(x + 3), если x < 7? (Первый
множитель меньше 7, второй меньше 10, значит произведение меньше 70.)

— Исследуйте,
каким будет x(x + 3), если x > 7? (Первый множитель
больше 7, второй больше 10, значит произведение больше 70.)

— Вы
доказали, что других корней нет? (Да доказали.)

— Я вам
предлагаю из блоков составить алгоритм решения уравнений.

  
У каждой группы блоки

	Придать переменной любое правдоподобное значение		Подставить его в уравнение
	Докажи, что других решений нет
		Взять другое правдоподобное значение переменной

  
Учащиеся в течение 1 минуты
выполняют задание. Одна из групп представляет свою версию, и обосновывают её.
Остальные группы работают на дополнение, уточнение.

  
Задача учителя на данном этапе –
организовать согласование всех полученных версий.

— Как можно проверить, что вы правильно открыли новые знания?

Учащиеся сопоставляют свой вариант
с эталоном 1 на стр. 97 учебника.

  
После этого он выставляет
собственный вариант и сравнивает его с итоговой версией класса

 

Вариант 1                                                                                         Вариант
2

		1. Придать переменной любое правдоподобное значение. 2. Подставить его в уравнение. 3. Найти значение левой и правой части уравнения и сравнить полученные числа. 4. Если значения не равны, то перейти к пункту 1, если значения равны, то перейти к пункту 5. 5. Доказать, что других решений нет.

Да                                           Нет

6. Первичное закрепление во внешней
речи

№ 168 (4)

  
Задание выполняет ученик у
доски.

1) Прочитать задачу. «Площадь прямоугольника равна 64 дм²,
а его длина в 4 раза больше ширины. Каков периметр прямоугольника?»

2)
Проверить соответствие между единицами измерения величин: единицы измерения
величин согласованы.

3) Определить взаимосвязи между описанными в ней величинами: в задаче
говориться о площади прямоугольника – 64 дм², а длина в 4 раза
больше ширины. Надо найти периметр прямоугольника.

4) Обозначить одну из неизвестных величин буквой: обозначим ширину – х
дм.

5)
Выразить остальные неизвестные величины через введенную букву, составим
таблицу:

Длина, дм	Ширина, дм	Площадь, дм2
4x	x	4x × x или 64

6) Составить уравнение: x × 4x = 64

7)
Решить уравнение методом проб и ошибок:

Придать переменной любое правдоподобное значение: x = 3.

Подставить его в уравнение, проверить является число корнем:

если x = 3, то 3 × 4 × 3 = 64;

                                            36 = 64 (Н)

Число 3 не является корнем.

Взять другое правдоподобное значение переменной: x = 4

Подставить его в уравнение, проверить является число корнем:

если x = 4, то 4 × 4 × 4 = 64 (В)

Число 4 является корнем.

Доказать, что других корней нет:

если x < 4, то
x ×
4x < 64

если x > 4, то
x ×
4x > 64

Ответить на вопрос задачи: ширина участка – 4 дм

4 × 4 = 16 (дм) – длина участка.

(4 + 16) × 2 = 40 (дм) периметр прямоугольника.

Ответ: периметр равен 40 дм.

№ 168 (2)

  
Задание выполняется в парах.

  
Результаты выполнения № 168

№ 168 (2) 1 способ Длина, см Ширина, см Площадь, см2 x + 9 x (x + 9) × x или 90 x(x + 9) = 90 если x = 6, то 6 × (6 + 9) = 90 (И) если x < 6, то x(x + 9) < 90 если x > 6, то x(x + 9) > 90 Ответ: длина 15 см, ширина 6 см.

2 способ. Длина, см Ширина, см Площадь, см2 x x – 9 (x – 9) × x или 90 x(x – 9) = 90 если x = 15, то 15 × (15 – 9) = 90 (И) если x < 15, то x(x – 9) < 90 если x > 15, то x(x – 9) > 90 Ответ: длина 15 см, ширина 6 см.

7. Самостоятельная работа с
самопроверкой

  
Для самостоятельной работы
предлагается выполнить № 168 (1).

  
Результаты выполнения № 168 (1)
проверяются

I способ Единицами измерения величин согласованы В задаче говориться о площади прямоугольника – 68 дм2, о длине, которая больше ширины на 13 дм. Надо найти стороны прямоугольника Ширина – х дм Длина, дм Ширина, дм Площадь, дм2 x + 13 x (x + 13) × x или 68 x(x + 13) = 68 Если x = 4, то 4•(4 + 13) = 68 (И) Если x < 4, то x(x + 13) < 68 Если x > 4, то x(x + 13) > 68 Ширина – 4 дм 4 + 13 = 14 (дм) – длина Ответ: длина 17 дм, ширина 4 дм. II способ Длина – х дм Длина, дм Ширина, дм Площадь, дм2 x x – 13 (x – 13) × x или 68 x(x – 13) = 68 Если x = 17, то 17•(17 – 13) = 68 (И) Если x < 17, то x(x – 13) < 68 Если x > 17, то x(x – 13) > 68 Длина – 17 дм 17 – 13 = 4 (дм) – ширина Ответ: длина 17 дм, ширина 4 дм.

1) Прочитать задачу. 2) Проверить соответствие между единицами измерения величин 3) Определить взаимосвязи между описанными в ней величинами 4) Обозначить одну из неизвестных величин буквой 5) Выразить остальные неизвестные величины через введенную букву, построить таблицу 6) Составить уравнение 7) Решить уравнение методом проб и ошибок Ответить на вопрос задачи

8. Включение в систему знаний и
повторение.

— Какие ещё уравнения вы умеете решать? (Составные
уравнения.)

— Выполните № 179 (2).

  
Задание выполняет один ученик у
доски с комментарием.

60 × (у : 40 + 4) = 720;

Находим множитель. Чтобы найти неизвестный множитель
надо произведение разделить на известный множитель:

у : 40 + 4 = 720 : 60;

у : 40 + 4 = 12;

Находим первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное
слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое:

у : 40 = 12 – 4;

у : 40 = 8;

Находим делимое. Чтобы найти делимое надо частное умножить
на делитель:

у = 8 × 40;

у = 320

9. Рефлексия деятельности на уроке

– Какая основная цель стояла сегодня на уроке? (Вывести способ решения
уравнения с двумя неизвестными множителями.)

– Назовите этот метод (Метод проб и ошибок.)

– В чём заключается этот метод? (Вместо переменной в
уравнение подставляем любые числа и проверяем, является взятое число корнем
уравнения и делаем это до тех пор пока не найдём решение.)

– Что ещё необходимо при использовании этого метода?
(Доказывать, что найденное решение единственное.)

– Проанализируйте и оцените свою работу на уроке.

Домашнее задание: п. 1.2.2. (задача 3), эталон; № 177 (1); № 178 (а); № 179 (1 или 3 на
выбор); № 180* — по желанию.

Метод проб и ошибок

в решении текстовых задач.

При решении текстовых задач многие учащиеся испытывают затруднения. Главная задача учителя научить решать ученика различные типы текстовых задач. Процесс решения текстовых задач развивает у учащихся логическое мышление, учат находить выход из проблем реальной жизни, дает почувствовать уверенность в своих силах.

Текстовые задачи можно разбить на два основных класса:

• текстовые арифметические задачи;

• текстовые задачи на составление уравнений.

Причем это разделение довольно условно. Многие текстовые арифметические задачи можно решить с помощью уравнений, а задачи на составление уравнений (систем уравнений) часто решают по действиям, а если это не получается, то используют метод проб и ошибок или метод перебора.

Мне бы хотелось продемонстрировать решение ряда задач этими методами.

Задача №1

Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны. Площадь участка равна 70 м². Найти размеры этого участка.

Пусть x м ширина участка, (x+3) м – длина участка, а площадь x·(x+3) м²,

что по условию задачи равно 70 м². Чтобы найти размеры участка надо составить уравнение x·(x+3)=70 и решить его. Но в 5^ом классе такие учащиеся решать еще не могут. Поэтому попробуем подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

1. пусть x=4, т.е. 4·(4+3)=28, 28≠70;

2. x=6, т.е. 6·(6+3)=54, 54≠70;

3. x=7, т.е. 7·(7+3)=70, 70=70 верно.

Т.е. мы увидели, что метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, когда математический модель представляет собой новый, не изученный еще объект. Но, решая задачи этим способом, следует помнить, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому необходимы обоснования того, что найдены все возможные решения.

В нашей задаче, если бы x было больше 7,то x+310 и x·(x+3)70, если наоборот xx+3 x·(x+3)

Задачи для учащихся.

Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

1. Площадь прямоугольника равна 68 дм², а длина больше ширины на 13 дм. Каковы стороны этого прямоугольника?

2. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см². Найти стороны прямоугольника.

3. Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет 18 м², а ширина в 2 раза меньше длины.

4. Площадь прямоугольника равна 64 дм², а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника?

5. Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см².

6. После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника 91 м².

7. Длина прямоугольника на 5 м больше ширины, а площадь составляет 24 м². каковы стороны этого прямоугольника?

8. Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм².

9. Найти периметр прямоугольника, у которого ширина на 4 см меньше длины, а площадь составляет 32 см².

10)Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если

большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить

в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см².

Найти стороны данного прямоугольника.

Метод перебора при

нахождении НОД.

Рассмотрим еще один метод – метод перебора. Т.к. предыдущий метод решения задач – метод проб и ошибок не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные, иногда очень непростые рассуждения. В этом недостаток метода проб и ошибок. Но он исключен в методе полного перебора.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем «лобовой» перебор.

Задача. На экскурсию едут 252 ученика школы. Для них заказаны

несколько автобусов. Однако выяснилось, что если заказать

автобусы, вмещающие на 6 человек больше, то автобусов

потребуется на один меньше. Сколько больших автобусов надо

заказать?

Составим таблицу.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	252 : x	x	252
Маленькие автобусы	252 : (x+1)	x+1	252

Т.к. по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше, чем в маленький, то разность 252 : x — 252 : (x+1) = 6. Значит решением задачи является число X, удовлетворяющее равенству: 252 : x — 252 : (x+1) = 6.

Но можно получить более простую математическую модель этой задачи, обозначив дополнительно буквой Y число детей, которых можно разместить в большом автобусе.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	y	x	252
Маленькие автобусы	y-6	x+1	252

Очевидно, что в этом случае математической моделью задачи являются два равенства:

1. xy = 252;

2. (x+1)·(y-6) = 252.

Искомые числа x и y должны удовлетворять как первому, так и

второму равенству. Найдем эти числа x и y.

Из равенства xy = 252 можно заметить, что числа x и y не могут быть

больше, чем 252. Однако и в этом случае «лобовой» перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа вариантов. Но более внимательный анализ первого равенства показывает, что числа x и y – это парные делители 252: при делении 252 на x получается y, и наоборот. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь парные делители числа 252, причем для случая, когда y6 (y-60).

Составим таблицу:

+1

x	1	2	3	4	6	7	9	14	18	28	36
y	252	126	84	63	42	36	28	18	14	9	7

— 6

Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных вариантов. Оно означает, что число (x+1) и (y-6) так же являются парными делителями 252. Из таблицы видно, что такими свойствами обладает только пара x=6, y=42.

Ответ: для экскурсии надо заказать 6 больших автобусов.

Задачи для учащихся.

1. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа.

2. Сумма цифр двузначного числа равна 12. число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет ⁴ /₇ исходного числа. Найти эти числа.

3. Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96.

4. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и трехместных лодок было у причала?

5. Прямоугольный газон обнесен изгородью, длинна которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найди длины газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.

6. В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок?

7. Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6.

8. На турбазе имеются палатки и домики, общее число которых равно 25. в каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек?

9. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м². Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами.

Еще один тип задач, которые решаются методом перебора.

Задумано двузначное число, которое на 52 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?

Пусть xy – задуманное двузначное число, где x – цифра десятков, а y – цифра единиц. Тогда их произведение равно xy. Само двузначное число можно записать как 10x+y. По условию 10x+y на 52 больше произведения своих цифр xy. Т.е. должно выполняться равенство 10x+y= xy+52, которое является математической моделью данной задачи.

Решается это уравнение методом перебора. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения x от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9.

Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что первая часть данного равенства больше 52. Значит, и первая его часть, т.е. задуманное число, больше 52. Поэтому неизвестное число x не меньше 5, и можно рассматривать только пять значений x – от 5 до 9.

При x=5 будем иметь равенство 50+y=5y+52, оно невозможно, т.к. 50+yy+52.

При x=6 60+y=6y+52 | -y

60=5y+52

5y=8 невозможно для натурального y.

При x=7 70+y=7y+52

70=6y+52

6y=18

y=3 Число 73

При x=8 80+y=8y+52

80=7y+52

7y=28

y=4 Число 87

При x=9 90+y=9y+52

38=8y невозможно

Таким образом, задумано либо 73, либо 84.

Условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос. Поэтому два ответа: 73 или 84.

Задачи для учащихся.

Метод перебора используется при доказательстве общих утверждений, где необходимо вводить буквенные обозначения.

Например: Доказать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

1 сл. 1,2,3 1+2+3=6, 6:3=2

2 сл. 5,6,7 5+6+7=18, 18:3=6

3 сл. 21,22,23 21+22+23=66 66:3=22

и т.д.

Возьмем произведение натурального числа и обозначим его n. Тогда следующие за ним два числа соответственно равны n+1 и n+2.

Их сумма: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) делится на 3, т.к. один из множителей делится на 3.

Метод проб и ошибок: достоинства и недостатки

Человечество берет свое начало несколько тысяч лет назад. И на протяжении всего этого времени оно неустанно развивается. Причин на это было всегда много, но без изобретательности человека это просто не представлялось бы возможным. Метод проб и ошибок был и является в настоящее время одним из основных.

Описание способа

Четко зафиксированного в исторических документах применения данного метода мало. Но, несмотря на это, он заслуживает особого внимания.

Метод проб и ошибок – это способ, при котором решение задачи достигается подбором вариантов до тех пор, пока результат не станет правильным (например, в математике) или приемлемым (при изобретении новых методов в науке).

Человечество всегда пользовалось данным методом. Ориентировочно век назад психологи пытались найти общее между людьми, которые использовали данный способ познания. И им это удалось. Человек, который ищет ответ на поставленную задачу, вынужден подбирать варианты, ставить эксперименты и смотреть на результат. Это продолжается до тех пор, пока не приходит озарение по данному вопросу. Экспериментатор выходит на новую ступень мышления в данном вопросе.

Метод в мировой истории

Одним из самых известных людей, кто применял данный способ, был Эдисон. Все знают его историю изобретения лампочки. Он экспериментировал до тех пор, пока не получилось. Но Эдисон усовершенствовал данный метод. При поиске решения он разделял задачи между людьми, которые работали на него. Соответственно материала по теме получалось намного больше, чем при работе одного человека. И на основании полученных данных метод проб и ошибок имел большой успех в деятельности Эдисона. Благодаря этому человеку появились исследовательские институты, которые применяют, в том числе, и этот метод.

Степени трудности

У данного метода есть несколько уровней сложности. Они были так разделены для лучшего усвоения. Задача первого уровня считается легкой, и на поиск ее решения затрачивается немного сил. Но и вариантов ответов она имеет не так много. С повышением степени трудности растет и сложность поставленной задачи. Метод проб и ошибок 5 класса – самый труднорешаемый и затратный по времени.

Необходимо учитывать, что при возрастании уровня сложности растет и объем знаний, которыми обладает человек. Чтобы лучше понимать, о чем идет речь, рассмотрим технику. Первый и второй уровни позволяют изобретателям ее усовершенствовать. На последней ступени сложности создается совершенно новый продукт.

Например, известен случай, когда молодые люди темой дипломной работы взяли труднорешаемую задачу из аэронавигации. Студенты не обладали такими же знаниями, как многие ученые, которые работали в данной области, но благодаря широкому спектру знаний ребят у них получилось найти ответ. И причем область решения оказалась в самом далеком от науки кондитерском деле. Казалось бы, что это невозможно, но это факт. Молодым людям было даже выдано авторское свидетельство на их изобретение.

Преимущества метода

Первым достоинством можно по праву считать творческий подход. Задачи методом проб и ошибок решаемые позволяют задействовать оба полушария головного мозга для поиска ответа.

Стоит привести в пример, как строились лодки. Раскопки показывают, как на протяжении столетий деталь за деталью менялась форма. Исследователи постоянно пробовали что-то новое. Если лодка тонула, то эту форму вычеркивали, если оставалась держаться на воде, то принимали это к сведению. Таким образом, в итоге было найдено компромиссное решение.

Если поставленная задача не слишком сложная, то данный метод занимает немного времени. У некоторых возникающих проблем может быть десять вариантов, один или два из которых окажутся правильными. Но если рассматривать, например, робототехнику, то в данном случае без применения других методов исследования могут затянуться на десятки лет и принесут миллионы вариантов.

Разделение задач на несколько уровней позволяет оценить, насколько быстрым и возможным представляется поиск решения. Это сокращает время для принятия решения. И при сложных задачах можно использовать метод проб и ошибок параллельно с другими.

Недостатки метода

С развитием технологий и науки данный метод начал терять свою популярность.

В некоторых областях просто нерационально создавать тысячи образцов, чтобы менять по одному элементу. Поэтому зачастую теперь используют другие методы, основанные на конкретных знаниях. Для этого стали изучаться природа вещей, взаимодействие элементов друг с другом. Стали использоваться математические расчеты, научные обоснования, эксперименты и опыт прошлого.

Метод проб и ошибок все так же отлично используется в творчестве. Но строить автомобиль таким способом уже кажется глупым и неактуальным. Поэтому теперь, при нынешнем уровне развития цивилизации, нужно в точных науках по большей части использовать другие методы.

Часто при рассматриваемом способе задача может описывать много совершенно незначительных вещей и не учитывать априори важные вещи. Например, изобретатель пенициллина (антибиотик) утверждал, что при правильном подходе лекарство могли изобрести лет на двадцать раньше его. Это поспособствовало бы спасению огромного количества жизней.

При сложных задачах часто бывают ситуации, когда сам вопрос лежит в одной области знаний, а его решение — совершенно в другой.

Не всегда исследователь уверен, что ответ вообще будет найден.

Автор метода проб и ошибок

Кто конкретно изобрел это способ познания, мы никогда не узнаем. Точнее мы знаем, что это явно был изобретательный человек, которым, скорее всего, руководило желание улучшить свою жизнь.

В древности люди были достаточно ограничены во многих вещах. Все изобреталось именно этим методом. Тогда еще не было каких-то фундаментальных знаний в области физики, математики, химии и прочих важных наук. Поэтому приходилось действовать наугад. Именно так добыли огонь, чтобы защищаться от хищников, готовить пищу и обогревать жилище. Оружие, чтобы добывать пропитание, лодки — для передвижения по рекам. Все было изобретено при столкновении человека с трудностью. Но каждый раз решаемая проблема приводила к более качественному уровню жизни.

Известно, что многие ученые использовали этот метод в своих трудах.

Однако именно описание метода и активное использование мы наблюдаем у физиолога Торндайка в конце девятнадцатого века.

Исследования Торндайка

Пример метода проб и ошибок можно рассмотреть в научных трудах ученого-физиолога. Он ставил различные поведенческие эксперименты с животными, помещая их в специальные коробки.

Один из экспериментов выглядел приблизительно следующим образом. Кошка, помещенная в ящик, ищет выход. Сама коробка может иметь 1 вариант открытия: нужно было нажать на пружинку — и дверца распахивалась. Животное применяло много действий (так называемых проб), и большинство из них оказывались неудачными. Кошка так и оставалась в коробке. Но после некоторого набора вариантов животному удавалось нажать на пружинку и выбраться из ящика. Таким образом, кошка, попадая в коробку, с течением времени запоминала варианты развития событий. И выбиралась из ящика за более короткое время.

Торндайк доказал, что метод действителен, и хоть результат не линеен, но со временем, при повторении аналогичных действий, решение приходит практически моментально.

Решение задач методом проб и ошибок

Примеров этого способа великое множество, однако стоит привести один очень интересный.

В начале двадцатого века жил известный конструктор двигателей для авиации Микулин. В то время наблюдалось огромное количество авиакатастроф из-за магнето, то есть искра зажигания через некоторое время полета исчезала. Много было экспериментов и размышлений о причине, но ответ пришел в совершенно неожиданной ситуации.

Александр Александрович встретил на улице мужчину с подбитым глазом. В тот момент к нему и пришло озарение, что человек без одного глаза видит намного хуже. Он поделился этим наблюдением с авиатором Уточкиным. Когда установили в самолеты второе магнето, количество авиакатастроф значительно уменьшилось. А Уточкин некоторое время выплачивал после каждого показательного полета Микулину денежные вознаграждения.

Применение способа в математике

Достаточно часто метод проб и ошибок в математике применяется в школах как способ развития логического мышления и проверки скорости поиска вариантов. Это позволяет разнообразить процесс обучения и внести элементы игры.

Часто можно встретить в школьных учебниках задания с формулировкой «реши уравнение методом проб и ошибок». В данном случае необходимо подбирать варианты ответа. Когда найден правильный ответ, он просто доказывается уже практически, то есть проводятся необходимые расчеты. В итоге мы удостоверяемся, что это единственно верный ответ.

Пример практической задачи

Метод проб и ошибок в математике 5 класса (в последних изданиях) часто фигурирует. Приведем пример.

Необходимо назвать, какие стороны могут быть у прямоугольника. При условии, что площадь (S) = 32 см, а периметр (P) = 24 см.

Решение данной задачи: предположим, что длина одной стороны 4. Значит и длина еще одной стороны такая же.

Получаем следующее уравнение:

16 делим на 2 = 8

8 см – это ширина.

Проверяем по формуле площади. S = A*B = 8*4 = 32 сантиметра. Как мы видим, решение верное. Так же можно вычислить и периметр. По формуле получается следующий расчет Р = 2* (А + В) = 2* (4 + = 24.

В математике метод проб и ошибок не всегда отлично подходит для поиска решений. Зачастую можно использовать более подходящие способы, при этом затрачивается меньше времени. Но для развития мышления данный метод имеется в арсенале каждого педагога.

Теория решения изобретательских задач

В ТРИЗ метод проб и ошибок считается одним из самых неэффективных. Когда человек попадает в необычную для него затруднительную ситуацию, то действия наугад, скорее всего, будут безрезультатными. Можно потратить много времени и в результате не добиться успеха. Теория решения изобретательских задач основана на уже известных закономерностях, и обычно используются другие методы познания. Часто ТРИЗ используют в воспитании детей, делая этот процесс интересным и увлекательным для ребенка.

Выводы

Рассмотрев данный метод, можно с уверенностью сказать, что он достаточно интересный. Несмотря на недостатки, он часто используется в решении творческих задач.

Однако не всегда он позволяет добиться нужного результата. Никогда исследователь не знает, когда стоит прекратить поиски или, может, стоит сделать еще пару усилий и гениальное изобретение появится на свет. Также непонятно, сколько времени будет затрачено.

Если вы решили использовать данный метод для решения какой-либо проблемы, то должны понимать, что ответ порой может находиться в совершенно неожиданной области. Но это позволяет взглянуть на поиск с разных точек зрения. Возможно, придется набросать несколько десятков вариаций, а может, и тысячи. Но лишь упорство и вера в успех приведут к нужному результату.

Иногда этот метод используют как дополнительный. Например, на начальном этапе для сужения поиска. Либо когда исследование было проведено многими способами и зашло в тупик. В этом случае творческая составляющая метода позволит найти компромиссное решение проблемы.

Метод проб и ошибок часто применяют в педагогической деятельности. Он позволяет детям на собственном опыте находить решения в различных жизненных ситуациях. Это учит их запоминать правильные типы поведения, которые приняты в обществе.

Художники используют данный способ для поиска вдохновения.

Метод стоит опробовать в обыденной жизни при решении проблем. Возможно, какие-то вещи предстанут вам по-другому.

Урок «Способы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Слагаемое можно переносить из одной части равнения в другую, изменяя его так.

Пример 1. Решить.уравнение 8х — 9 = -2х + 3.

Решение: Соберем слагаемые, содержащие в левую часть, а свободные члены — в правую, затем упростим полученные выражения и найдем х.

Метод проб и ошибок.

Метод проб и ошибок заключается в следующем:

экспериментально подбираются корни уравнения;

доказывается, что других корней уравнение не имеет.

Пример 2. Решить уравнение х 2 +3х 54 = 0, где х — натуральное число.

Решение: Перенесем слагаемое — 54 в правую часть уравнения, а в левой части вынесем за скобки общий множитель х:

Число 6 является корнем данного уравнения. Действительно,

6(6 + 3) = 54 (истинно).

Других натуральных корней у этого уравнения нет, так как при увеличении множителей произведение также будет увеличиваться, а при уменьшении — уменьшаться. Значит число 6 — единственный корень этого уравнения.

Метод перебора заключается в проверке всех возможных вариантов решения уравнения.

Например, глядя на уравнение х(х + 3) = 54, можно заметить, что его. натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2,3, 6,9,18,27, 54. Подставляя эти числа вместо переменной х в уравнение, находим единственный корень: х = 6

Реши уравнения методом перебора:

а) 7х( 9 — 2х) = 70; б) х( 2х — 1)(4 — х)( х + 1) = 60.

• Реши уравнения методом проб и ошибок:

а) х( х + = 33; б) Зх 2 — 14х — 15 = 0.

Краткое описание документа:

Большинство учеников 6 класса испытывает затруднения при решении уравненй. В данном методическом материале собраны способы решений уравнений, а также описаны метод проб и ошибок и метод перебора. Последние методы редко разбирают на уроках, но с их помощью можно решить множество задач, в том числе олимпиадных.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 574 587 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

42. Решение уравнений

Другие материалы

• 28.09.2019
• 208
• 0

• 18.09.2019
• 378
• 0

• 12.09.2019
• 261
• 1

• 25.08.2019
• 466
• 2

• 19.08.2019
• 161
• 0

• 01.07.2019
• 449
• 16

• 15.06.2019
• 311
• 0

• 27.04.2019
• 827
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 08.10.2019 500
• DOCX 15.8 кбайт
• 2 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лапикова Марина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4442
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Эти загадочные уравнения

Окружная научная конференция учащихся

Эти загадочные уравнения

Наумов Виктор, ученик 6 класса

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

с. Красный Яр, 2013 г.

· Введение. Актуальность проблемы изучения способов решения

Глава 1. Исторические сведения…………………………………….4-8

Глава 2. Эти загадочные уравнения………………………………..8-15

2.1. Что мне было известно про уравнение………………………..8-9

2.2. Решение простейших уравнений …………………..……

2.3. Что я нового узнал об уравнениях из школьных учебников……………………………………………………………11-15

Глава 3. Что я нового узнал об уравнении из дополнительной

3.1. Тайное становится явным (исследование)………….……… 15-18

3.2. Способы решения уравнений……………………….……….. 18-20

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестной компоненты…………………………………………………….…………..18

б) Решение уравнений методом весов…………………………..18

в) Решение уравнений методом проб и ошибок………………..19

г) Решением уравнений методом перебора……………. 19

3.3 Математические фокусы…………………………………. 21-23

· Список использованной литературы……………………. 25

· Приложения. Задания для моих одноклассников

Введение. Актуальность проблемы

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Кто и когда придумал уравнения? Кто ввёл неизвестные величины? Как решаются уравнения? Эти проблемные вопросы, думаю, интересны многим, в том числе и мне. Я высказал гипотезу, что существуют какие-то определенные способы решения уравнений и поставил перед собой цель:

• изучить способы решения уравнений

• углубить математические знания по этой теме

• расширить представления о математике как о языке описания окружающего мира

• изучить литературу и систематизировать материал по данной теме

• исследовать свойства преобразования уравнений

• выявить основные доступные способы решения уравнений

• выработать навыки поисково-исследовательской работы

• систематизация изученного материала

• классификация уравнений по способам их решения

Объект исследования: Уравнения

Предмет исследования: Способы решения уравнений

Слова уравнение и равенство имеют один и тот же корень. Да, и на самом деле, уравнение – это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

В начальной школе я научился решать самые простые уравнения, в пятом и шестом классах мы уже решали более сложные уравнения, а в старших классах я научусь решать разные виды уравнений. Существует целая наука алгебра, которая изучает различные виды уравнений и способы их решения. С алгеброй, как учебным предметом, мне предстоит встретиться только в седьмом классе.

Но мне не захотелось ждать седьмого класса. Из дополнительной литературы я решил узнать новое, интересное и загадочное об уравнениях. Поэтому тема моей работы «Эти загадочные уравнения».

Глава 1.Исторические сведения

Кто и когда придумал первое уравнение?

Задачи, которые довольно просто мы сегодня можем решить при помощи уравнений, решали хорошо обученные науке мудрецы, чиновники и жрецы ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными. Однако ни в одном папирусе, ни на одной глиняной табличке не дано описание приёмов. Авторы лишь изредка снабжают выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты верно нашёл!» В те времена не было ещё общепринятых теперь обозначений неизвестных буквами, а действий – знаками. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было ещё знаков равенства и знаков действий, то записывать уравнения они, конечно, не умели. Уравнения записывались словами.

Но и в «словесной форме» уравнения существенно облегчали решение задач.

Первым придумал обозначение для

неизвестных греческий математик

Диофант, живший в III веке.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем.

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней и переведена на русский язык.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: обозначали числа от 100 до 900. чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чёрточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой – она обозначалась (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать неизвестную величину, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.

Придумав это, Диофант стал двигаться дальше. И вместо слова «получится» или «равняется» стал писать — две первые буквы слова («исос» — равный). Диофант придумал знак и для вычитания – им служила буква (пси), только перевёрнутая. А без знака сложения Диофант обходился довольно просто – слагаемые записывал рядом друг с другом. Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. С этими приёмами я познакомлюсь при изучении математики в этом году.

Первым руководством по решению уравнений, получившим широкую известность, стал труд арабского учёного IX века Мухаммеда Бен Мус аль -Хорезми. Об аль – Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное – он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала» (Книга о восстановлении и противопоставлении). Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было 5х – 16 = 20 – 4х,

стало 5х = 36 – 4х.

После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

было 5х = 36 – 4х.,

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми.

Новый великий прорыв в решении уравнений связан с именем французского учёного XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквенные обозначения для неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту.

Таким образом, решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященными в эту тайну, так как уравнения были связаны с решением житейских проблем.

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С. Коваль

Сезам – заклинание в арабской сказке, силой которого раскрывалась тайная сокровищница.

Глава 2. Эти загадочные уравнения.

2.1.Что мне было известно про уравнение

В учебнике «Математика – 4, часть 2» в разделе «Справочный материал» на странице 92 про уравнение можно прочитать следующее:

« Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число в таком равенстве обозначают латинской буквой (например, х, а, b и др.). Решить уравнение – значит найти такое значение буквы, чтобы равенство стало верным. Например: 15 + х = 18 – уравнение. х = 3 – решение уравнения, так как 15 + 3 = 18 – верное равенство».

В учебнике Виленкина «Математика – 5», в п.10 на страницах 58-59 мы прочтём про уравнение почти то же самое.

Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.

2.2. Решение простейших уравнений

Пример 1. Решим уравнение х + 37 = 85.

Решение. По смыслу вычитания неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого. Поэтому х = 85 – 37 , то есть х = 48.Число 48 является корнем уравнения х + 37 = 85, потому что 48 + 37 = 85.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение у – 94 = 18.

Решение. По смыслу вычитания у является суммой чисел 18 и 94. Значит, у = 18 + 94, то есть у = 112.Число 112 является корнем уравнения у – 94 = 18, так как верно равенство у – 94 = 18.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 91 – z = 36.

Решение. По смыслу вычитания число 91 является суммой z и 36 , то есть z + 36 = 91. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 91 – 36, то есть z = 55.Число 55 является корнем уравнения 91 – z = 36, так как верно равенство 91 – 55 = 36.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример 4. Решим уравнение 35х = 175.

Решение. По смыслу деления имеем: х = 175 : 35, то есть х = 5. Число 5 является корнем уравнения 35х = 175, так как верно равенство 355 = 175.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Пример 5. Решим уравнение у : 8 = 16.

Решение. По смыслу деления у – произведение множителей 8 и 16. Значит, у = 168, то есть у = 128. Число 128 является корнем уравнения у : 8 = 16, так как верно равенство 128 : 8 = 16.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Пример 6. Решим уравнение 252 : z = 21.

Решение. По смыслу деления число 252 – произведение множителей 21 и z, то есть 21z = 252. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: z = 252 : 21, то есть z = 12. Число 12 является корнем уравнения 252 : z = 21, так как верно равенство 252 : 12 = 21.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Таким образом, при решении этих уравнений я использовал правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя).

Компонент — слово латинского происхождения, на русский язык переводится как составляющая часть, элемент чего-либо. По этим правилам мы решаем уравнения, начиная со второго класса.

2.3.Что я узнал об уравнениях из школьных учебников

При решении уравнений кроме способа нахождения неизвестного компонента, мы использовали еще второй способ, при котором упрощали выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойства сложения, вычитания и умножения.

Рассмотрю несколько заданий из учебника.

№ 000. Решите двумя способами уравнение:

а) (х + 98) + 14 = 169; б) (35 + у) – 15 = 31 .

Решу первое уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное слагаемое х + 98:

а потом найду слагаемое х: х = 155 – 98,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя сочетательное свойство сложения

а затем найду неизвестное слагаемое х:

Решу второе уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное уменьшаемое 35 + у:

а потом найду слагаемое у: у = 46 – 35,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойство вычитания: (35 + у) – 15 = 31,

а затем найду неизвестное слагаемое у:

№ 000. Решите уравнение:

а) 3х + 5х + 96 = 1568;

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, упрощу левую часть первого и третьего уравнения, а распределительное свойство умножения относительно вычитания для второго и получу более простые уравнения. а) 8х + 96 = 1568;

б) 208z – 1843 = 11469;

После этого найду неизвестные компоненты: слагаемое, вычитаемое и множитель а) 8х + 96 = 1568,

х = 144. Ответ: 144.

б) 208z – 1843 = 11469,

208z = 11469 + 1843,

у = 167. Ответ: 167.

Еще в пятом классе я научился решать задачи с помощью уравнений.

Решу задачи из нашего учебника.

№ 000. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

Решение. Пусть столов купили х штук, тогда стульев – 9х штук. Всего купили (х + 9х) штук, или 220. Получил уравнение: х + 9х = 220. Решу его. х + 9х = 220,

х = 22. Итак, купили 22 стола, тогда стульев – 229 = 198 .

№ 000(1). Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2, 4.

Решение. Пусть третье число равно х, тогда 2,4х – первое число, а второе х + 0,6 . Среднее арифметическое этих чисел (2,4х + х + 0,6 + х) : 3 по условию задачи равно 2,4. Составлю уравнение и решу его.

(2,4х + х + 0,6 + х) : 3 = 2,4,

4,4х + 0,6 = 2,43,

1,5 –третье число, тогда 1,5 + 0,6 = 2,1 – второе число и 1,52,4 = 3,6 – первое число. Ответ: 3,6; 2,1 и 1,5.

Я провел маленькое исследование и убедился, что в учебнике «Математика – 5» достаточно много заданий, связанных с решением уравнений. Это задания первого вида: «Решите уравнение», «Угадайте корни уравнения» или «Найдите корни уравнения» и задания второго вида: «Решите задачу с помощью уравнения», «Придумайте задачу по уравнению», «Решите задачу».

372, 374, 375, 376, 379, 380, 395, 396, 439, 442, 445, 446, 462, 464, 482, 483, 485, 487, 490, 491, 496, 504, 505, 523, 524, 525 , 551, 568, 569, 570, 574, 576, 592, 593, 614, 615, 635, 639, 647, 660, 707, 727,

878, 1018, 1022, 1036, 1042, 1058, 1107, 1127, 1165, 1210, 1236, 1238, 1251, 1268, 1326, 1329, 1348, 1358, 1362, 1373, 1379, 1389, 1441, 1459, 1489, 1517, 1752, 1817.

373, 377, 397, 410, 440, 447, 484, 486, 489, 512, 526, 571,

572, 577, 578,579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 594, 602, 603, 607, 618, 619, 621, 622, 623, 624, 641, 643, 665, 669, 704, 705, 706, 726, 777, 837, 870, 871, 997, 1126, 1081, 1073, 1105,

1140, 1170, 1253, 1328, 1349, 1350, 1351, 1430,1460, 1461, 1462, 1463, 1490, 1491, 1558, 1559, 15 97, 1647, 1669, 1755, 1756, 1757, 1758, 1760, 1838, 1839, 1840.

То есть, 155 номеров всех заданий учебника, а их 1849, связаны с решением уравнений, то есть = 0, 083 829…. 8,4%. Но если учесть, что в данном учебнике первое задание, связанное с решением уравнения начинается с номера 372, то 1849 – 371 = 1478 и = 0, 10 487… 10%.

Теперь можно сделать вывод, что после изучения темы «Уравнение», каждое 10-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение»

Глава 3. Что я узнал об уравнении из дополнительной литературы.

3.1.Тайное становится явным (исследование)

Представьте, что в очень лёгком — практиче­ски невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не за­глядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных ве­сов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потре­буется — столько же их и в кошельке.

В кошельке семь монет.

Весы — испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае.

На левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше — 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш — равновесие при этом не нарушится.

Следовательно, внутри кошелька 10 монет

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. В своём сочинении об уравнениях арабский учёный аль – Хорезми замечает, что равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число, если оно не равно нулю. Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль – Хорезми. Попробую и я воспользоваться этой палочкой, и насколько мне позволяют знания, исследовать и доказать, что аль – Хорезми был прав. Рассмотрю это на простом уравнении.

Проведу исследования и узнаю, на самом ли деле значение х = 19, останется везде одинаковым.

1) Прибавлю к обеим частям уравнения число 12, получу новое уравнение 2х + 28 + 12 = 66 + 12,

воспользуюсь правилом, что два соседних слагаемых можно заменять их суммой, тогда 2х + 40 = 78,

2) Вычту из обеих частей уравнения 16,

чтобы найти неизвестное уменьшаемое (2х + 28) нужно к разности прибавить вычитаемое 2х + 28 = 50 + 16,

1) Умножу обе части уравнения на 3,

(2х + 28) 3= 663,

воспользуюсь правилом, что при умножении суммы на число можно на него умножить каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить. 2х 3 + 28 3 = 198, применю правило, что от перестановки множителей произведение не изменяется, и получу 3 2х + 84 = 198,

4) Разделю обе части уравнения на 2,

(2х + 28) : 2 = 66 : 2,

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить 2х : 2 + 28 :2 = 66 : 2,

Вывод: значение корня не изменится, если :

— к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Эти правила применяются для решения уравнений методом весов.

3.2. Способы решения уравнений.

Из дополнительной литературы я узнал о некоторых способах решения уравнений, с которыми я разобрался, и они оказались мне понятными.

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестного компонента. Решение уравнений этим методом я подробно рассмотрел в главе 2.

б) Решение уравнений методом весов. Решение уравнений методом весов я рассматривал в главе «Исторические сведения».

Решу уравнения таким методом.

а) 4х – 9 = 2х + 11, в) 8х – 10 = 5х + 8,

из обеих частей уравнения из обеих частей уравнения

отнимем по 2х и прибавим 9, отнимем по 5х и прибавим 10,

получим уравнение получим уравнение

х = 20 : 2, х = 18 : 3,

Проверка. 4 10 – 9 = 2 10 + 11, Проверка. 8 6 – 10 = 56 + 8,

40 – 9 = 20 + 11, 48 – 10 = 30 + 8,

Ответ: х = 10. Ответ: х = 6.

Уравнения такого вида мы научимся решать в конце 6 класса, используя правила преобразования выражений, а пока их можно решать методом весов.

в) Решение уравнений методом проб и ошибок

а) Решите уравнение х (х + 3) = 70.

Никакие известные нам правила не помогают найти решение этого уравнения. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х(х + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, х = 4: 4 (4 + 3) = 28. Мы видим, что выбранное число х слишком мало.

Возьмём теперь х = 6: 6 (6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя ближе к искомому. А следующая попытка оказывается удачной: при х = 7, имеем 7 (7 + 3) = 70. Значит, при х = 7 данное в условии равенство верно.

Казалось бы, уравнение уже решено, но это не так: ведь может оказаться, что буквенное выражение равно 70 при разных значениях букв. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число х было больше 7, то число х + 3 было больше 10, и тогда произведение оказалось бы больше 70. Точно так же число х не может быть меньше 7, иначе произведение будет меньше 70. Следовательно, среди натуральных чисел, есть только одно решение этого уравнения. Ответ: х = 7.

Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, если уравнение представляет собой новый, не изученный ещё объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одно не пропущено.

г). Решение уравнений методом перебора.

При решении уравнений методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не даёт уверенности в том, что найдены все искомые значения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок.

Указанного недостатка лишен другой метод решения уравнений – метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и даёт решение уравнение.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем просто перебор всех чисел по — порядку.

Например, глядя на уравнение х (х + 3) = 54, можно заметить, что его натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2, 3,6, 9, 18, 27, 54. Подставляя эти числа вместо буквы х в уравнение, находим единственный корень х = 6.

Решим еще одно уравнение методом перебора.

Делители числа 20 – 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Можно проанализировать и сделать вывод, что среди натуральных решений могут быть только числа большие 3, но меньшие 7. такими числами будут 4 и 5. проверим это.

х = 4, 4( 4 –– 4) = 4 13 = 12.

х = 5, 5(5 – 2)(7 – 5) = 52 2 = 20.

х= 5 – корень уравнения.

Если бы мы не делали анализа, то нам нужно было проверить все 6 чисел. А если число имеет много делителей, то перебор вариантов может оказаться слишком громоздким. Не всегда удаётся подобрать корни уравнения, и тем более доказать единственность решения. Может оказаться, что среди натуральных чисел решения нет, а среди других чисел оно есть.

Именно поэтому математики всегда стремились найти общие решения различных классов уравнений.

3.3. Математические фокусы.

В этом разделе я хочу показать, как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и показывать математические фокусы. Основной темой математических фокусов являются угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что «отгадчик» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задумавший этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы. Рассмотрю один из математических фокусов. Фокусник предложил каждому из публики задумать число. Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к результату прибавьте 7». Потом фокусник спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявил каждому, какое число тот задумал. Этот фокус легко разгадать, если умеешь составлять и решать уравнения. Слева запишу задания «фокусника», а справа — выражения, которые он мысленно при этом составляет.

Задумайте число. Обозначаю его буквой х. Прибавьте к нему число 5. Получается число х + 5.

Из результата вычтите 2. Получается (х + 5) – 2.

К результату прибавьте 7. Получается ((х + 5) – 2) + 7. Скажите ваш результат. Допустим, он равен 17.

Приравнивая составленное выражение ((х + 5) – 2) + 7 к 17, получаю уравнение. ((х + 5) – 2) + 7 = 17, Упростим левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания: ((х + 5) – 2) + 7 = (х + (5 – 2)) + 7 = (х + 3) + 7 = х + (3 + 7) = х + 10. Уравнение теперь получилось совсем простое : х + 10 = 17. Задуманное число х = 17 – 10, х = 7. Такие фокусы нетрудно придумать и самому. Например, эти два фокуса я придумал сам.

· Задумайте число, утройте его. Прибавьте к результату 10, а затем вычтите 1.Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 9 и результат разделить на 3).

· Задумайте число, прибавьте к нему 15, затем вычтите 7 и прибавьте задуманное число. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 8 и результат разделить на 2).

Удивительной для непосвященных кажется способность отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые. Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычисть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)2 – x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки, и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x-2. Если ответ равен 23, то задумано число 21. Чтобы угадать задуманное число нужно от результата отнять 2

1.Задумайте число. Умножьте его на 3. К полученному прибавьте полученное разделите на 3. Скажите, сколько получилось?

Решение. (3х + 6) : 3 = х + 2. Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 2.

2. Задумайте число. Умножьте его на 4. Из полученного вычтите 3. Полученное умножьте на 3, К полученному прибавьте 5. Полученное разделите на 4. К полученному прибавьте 1. Скажите, сколько получилось? Решение. ((4х – 3)3 + 5) : 4 + 1 = (12х – 9 + 5) : 4 + 1 = ( 12х – (9 – 5)) : 4 + +1 = (12х – 4) : 4 + 1 = 3х – 1 + 1 = 3х – (1 – 1) = 3х – 0 = 3х.

Чтобы получить задуманное число, нужно названное число разделить на 3.

3. Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте полученное на 6. Отнимите от полученного 3. Вычтите из полученного результата задуманное число. Полученное разделите на 5. Скажите”, сколько получилось?

Решение (( х + 3) 6 – 3 – х ) : 5 = ( 6х + 18 – 3 – х) : 5 = ( 5х + 15) : 5 = х + 3 . Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 3.

4. Задумайте любое число. Удвойте его. К полученному прибавьте 3. Полученное число умножьте на задуманное. От полученного результата отнимите задуманное. Полученное разделите на удвоенное задуманное число. Скажите, сколько получилось? Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 1.

Очень эффектно выглядят фокусы на отгадывание даты рождения и возраста зрителей, особенно в малознакомой компании.

Возраст и дата рождения

Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая — число и третья — порядковый номер месяца рождения.

Работа над данной темой помогла узнать мне много нового из истории математики. Мне пришлось рассмотреть дополнительную математическую литературу, чтобы узнать что-то новое про уравнения, и я подтвердил гипотезу, что существуют различные способы решения уравнений.

Просмотрев все учебники по математики с 5 по 11 классы, я убедился в важности выбранной темы. В течение всех лет мы расширяем знания по теме «Уравнения». Я узнал решение более сложных уравнений с помощью правила

нахождения неизвестной компоненты и решение задач на составление уравнений, решал уравнения с применением их свойств, узнал названия уравнений: линейные, квадратные, дробно — рациональные, биквадратные, тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические уравнений.

Конечно, эти названия мне ни о чём не говорят, но я теперь знаю, какие бывают уравнения, и что со временем я научусь их решать.

Мне было интересно узнать, что уравнения и математические фокусы, которые сейчас могут решать ученики 5-6 класса, в древности были по силам только математикам и мудрецам. И что, используя известные мне свойства сложения и умножения, я смог провести исследования и доказал на простых уравнениях, что значение корня не изменится, если:

— к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Я научился решать более сложные уравнения, используя 4 способа, о них я прочитал в дополнительной литературе. При выполнении работы мне пришлось решить более 120 уравнений. Во время недели математики я показал математические фокусы в 5-х классах и в 3 – 4 классах.

Вместе с моим руководителем мы составили задания для одноклассников. Среди этих заданий есть те, для решения которых достаточно знаний, полученных на уроках. Но есть и такие уравнения, которые решаются новыми способами, о которых я рассказал в работе, то есть требуют дополнительных знаний. Это для тех ребят, кто захочет научиться решать уравнения, используя новые способы.

Я, думаю, что новые знания, которые я получил, пригодятся мне в дальнейшей учёбе. Все цели и задачи, которые я ставил перед собой, я выполнил.

Список использованной литературы

общеобразовательных учреждений. // М.: Мнемозина, 2005.

2. , БеленковаЕ. Ю. Математика 5 класс.

Задания для обучения и развития учащихся.// М.: Интеллект-

3. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов средних школ//

Просвещение, 1989. (Б-ка учителя математики), стр.187

4. , и др. Математика. Учебник для 4 класса нач.

Школы в 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) – М.: Просвещение, 2005.

5. Энциклопедический словарь юного математика //

Сост. . М.: Педагогика, 1985, стр.345

6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика // Ред. коллегия:

М. Аксёнова, В. Володин и др. – М.: Аванта, 2005, стр.237

Методы и способы решения текстовых задач в курсе математики 5 — 6 классов

Введение

Проблемы обычного школьного урока привлекают к себе в последнее время особенно пристальное внимание. От школы и от учителя требуют не только дать знания, сформировать программные умения и навыки у всех учащихся, а главное, научить школьников творчески распоряжаться ими.

Но в большинстве случаев, учащиеся ориентируются на указания учителя, а самостоятельно организовывать свои действия не умеют. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи — традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи — показатель обученности и развития учащихся. Научиться решать математические задачи очень важно, т.к., зная подходы к решению математических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и в жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности.

Функции, цели обучения самой математики: воспитание, развитие, обучение молодого поколения. Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор, воздействовать на познавательные возможности, может нести эстетическую нагрузку.

Цель: описание методов и способов решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.

Объект работы: текстовые задачи в курсе математики основной школы.

Предмет работы: решение текстовых разными способами и методами.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

• изучить научную литературу по данной проблеме;

• рассмотреть классификации, методы и способы решения текстовых задач;

• описать методы и способы решения задач в 5 — 6 классах.

При решении задач требуется, чтобы учащиеся не только знали правила, определения, формулировки, но и понимали их смысл, значение, умели применять их в конкретных ситуациях. В процессе обучения должны объединиться строго научное изложение учителя с высказываниями, рассуждениями, вопросами, усилиями в преодолении трудностей со стороны учащихся.

Методы и способы решения тестовых задач

Существуют различные методы решения текстовых задач:

• арифметический,

• алгебраический,

• геометрический,

• логический,

• практический,

• табличный,

• комбинированный,

• метод проб и ошибок.

В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Иногда для краткости изложения, вместо того чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто — «задача решена арифметически».

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Логический метод. Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

Практический метод. Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).

Табличный метод позволяет видеть задачу целиком это- решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.

Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

Метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения — выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Примеры решения текстовых задач в 5 — 6 классе

Решение задач по-разному – мощное средство постижения мира, осознание разнообразия свойств и отношений его элементов. Разные методы и способы решения — средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения, способности слышать и понимать других людей.

Арифметический метод.

Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Решение.

1-й способ.

1) 82 32 + 78 = 192 (чел.) — удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192 : 2 = 96 (чел.) — поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 96 – 78 = 18 (чел.) — занимаются танцами;

5) 96 – 82 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1) 82 – 32 = 50 (чел.) — настолько больше студентов поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) — удвоенное число студентов, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 – 64 = 18 (чел.) — занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод.

Пример 1. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1-й способ. Пусть х д. в день — первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10) д. в день — новая производительность, Зх д. – число деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2-й способ.

Пусть х д. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда д. в день — новая производительность, ( – 10) д. в день – первоначальная производительность рабочего по условию получаем уравнение х = 3( – 10), решив которое найдем х = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Приме 2. На солнышке грелось несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

Решение.

1 способ.

Кошки	х шт.
Лапы	4х шт.
Ушки	2х шт.

Так как лап на 10 больше чем ушей.

Составим и решим уравнение:
4х – 2х = 10
2х = 10   │: 2
х = 5

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке. 

2 способ

1. На сколько лап больше чем ушей у одной кошки?
   4 – 2 = 2 (шт.)

2. Сколько кошек грелось на солнышке?
   10 : 2 = 5 (шт.)

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке. 

Пример 3. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у них вместе 19 голов и 46 ног?

Решение.

	Количество	Ноги
Куры	х шт.	2х шт.
Овцы	(19 – х) шт.	4(19 – х) шт.

Так как у кур и овец ног всего 46.
Составим и решим уравнение:
2х + 4(19 – х) = 46

Составленное уравнение учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой.

2х + 76 – 4х = 46
-2х = -30 │: (-2)
х = 15
15 шт. – куры
19 – 15 = 4 (шт.) – овцы

Ответ: 15 кур, 4 овц

Геометрический метод.

Пример. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – ЗО км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение.

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Причем длину одного отрезка по вертикали за 10 км. Длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали — расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией y = 20х, второго – y= 250 – З0х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся. Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения — отрезком OS. Тогда площадь S прямоугольника OSOT соответствует расстоянию между городами А и В. Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 · ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

Логический метод.

Пример 1.: Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;

б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;

в) Дима играет.

 Решение.

Если Саша и Сережа играют, то Дима не играет.

Если играют Дима и Андрей, то Сережа не играет.

Так как Дима по условию играет в шахматы значит – это Дима и Андрей играют в шахматы.

Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.

Практический метод.

Пример. Некто истратил 30 р. Своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70р. Сколько денег было вначале?

Решение:

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100 р.). Ответ: первоначально было 100 р.

Табличный метод

Пример. С одного участка собрали 1440 центнеров пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 гектар меньше, собрали 1080 центнеров. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.

Анализ задачи показывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, при этом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы, площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицу для схематической записи условий и требований задачи. Неизвестные величины, встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначим буквой х:

Участки	Масса собранной пшеницы, ц	Урожай с 1 га, ц	Площадь участка, га
Первый	1440	а + 2	х
Второй	1080	а	х – 12

В этой схематической записи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требование задачи: найти площадь первого участка. В то же время эта запись очень компактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи.

Комбинированный метод

Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй — треть того, что внесли все его товарищи, третий — четверть того, что все его товарищи, четвертый — оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?

Решение:

Пусть первый товарищ внес х р., второй – у р., третий – z р. тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Решение начнем алгебраическим методом.

Пусть первый товарищ вне х р., тогда все остальные внесли 2х р. Отсюда находим стоимость телевизора: (р.). Значит, первый внес стоимости телевизора. Пусть второй внес у р., тогда все остальные внесли Зу р. Отсюда находим стоимость телевизора: (р.). Значит, второй внес стоимости телевизора.

Пусть третий внес z р., тогда все остальные внесли 4z р. Отсюда находим стоимость телевизора: (p.). Значит, третий внес стоимости телевизора.

Продолжим решение арифметическим методом.

Первый, второй и третий внесли стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит р.

Ответ: 3 000 р.

Метод проб и ошибок

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Пример. Площадь прямоугольника равна 180 см², его ширина на 8 см меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.

Построим математическую модель задачи:

Подбираем решение «экспериментально», методом проб и ошибок.

Найдем значение x, такие, что значение выражения x · (x – равно 180. По смыслу задачи x 8.

Пусть x = 9, то 9 · (9 – ≠ 180.

И 9 слишком маленькое число.

Возьмем x =17, то 17· (17 – ≠ 180

x = 18, то 18 · (18 – =180

x = 19, то 19 · (19 – ≠ 180

Итак, если x = 18, то x – 8 = 10.

Ответ: длина 18 см, ширина 10 см.

Пример. Найти методом проб и ошибок натуральные корни уравнения x² – 8x + 15=0

Найдем значения x, такие, что x² – 8x + 15 равно 0.

Возьмем x = 2, то 2² – 8 · 2 + 15 ≠ 0

x = 3, то 3² – 8 · 3 + 15 = 0

Один натуральный корень найден, продолжим исследование:

X = 4, то 4² – 8 · 4 + 15 ≠ 0,

x = 5, то 5² – 8 · 5 + 15 = 0,

x = 6, то 6² – 8 · 6 + 15 ≠ 0

Оказалось, что уравнение имеет 2 натуральных корня. Больше быть не может.

Ответ: 3 и 5

Пример. Найти число x, если выполняется равенство x ·(17 – x)= 70.

Найдем такое число х, чтобы значение выражения х · (17 – х) было равно 70.

x = 6, то 6 · (17 – 6) = 66

х = 7, то 7 · (17 – 7) 70

х = 8, то 8 · (17 – 70

х = 9, то 9 · (17 – 9) 70

х = 10, то 10 · (17 – 10) = 70

Ответ: х = 7 и х = 10.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Заключение

Для достижения цели данного исследования были выполнены следующие задачи:

1. Был произведен анализ некоторой методической и школьной литературы с точки зрения изучения общих методов решения задач в школе на уроках математики.

2. На основе изученного материла, были описаны методы и способы решения текстовых задач, в основной школе. С кратким описанием и приведением примеров.

3. В результате были описаны наиболее часто встречающиеся методы используемые в школьном курсе математики в 5 – 6 классах.

Таким образом, была достигнута цель данного исследования: описать методы и способы решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.

Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит, прежде всего, в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения. (А.Д. Александров).

Литература

1. Бизам, Д. Игра и логика. 85 логических задач //Д. Бизам, Я. Герцег.– М.: Мир, 1975.– 358 с. : ил.

2. Ванцян А.Г. «Математика» 5 класс// А.Г. Ванцян. – М.: Просвещение, 2009.- с.

3. Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина: 1999-2004. – 384 с.

4. Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 1999-2004. – 384 с.

5. Кочагин В.В. Математика // Тематические тренировочные задания/ В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. – М.: Просвещение, 2008.

6. Гаврилова Т.Д. Занимательная математика. 5 – 11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными)// Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. — 96 с.

7. Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 // Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1996.– 176 с. : ил.

8. Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1997.– 240 с. : ил.

9. Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова.– 3-е изд.– М.: Просвещение, 2000.– 368 с.: ил.

1. Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 3 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1999.– 129 с.: ил.

2. Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 3 ч. Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 2002.– 176 с. : ил.

3. Зак, А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления школьников // А.З. Зак.– Ярославль: Академия развития, 1998.– 192 с. : ил.

4. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. В 2 ч. Ч. 2: Обучение математике через задачи и обучение решению задач // Ю.М. Колягин.– М.: Просвещение, 1977.– 139 с.

5. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка // Б.А. Кордемский.– М.: Наука, 1991.– 377 с.

6. Лихтарников, Л.М. Логические задачи: книга для учащихся 3-7 кл. / Л.М. Лихтарников.– Новгород: НГПИ, 1995.– 288 с.

7. Мираков, Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя // Т.Н. Мираков.– Львов: Квантор.– 1991.– 94 с. : ил.

8. Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учебное пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов // В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин и др.– М.: Просвещение, 1980.– 480 с.

9. Епишева О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. Для учителей //О.Б. Епишева В.И.. Крупин. – М.: Просвещение, 2000. – с. 102-136.

10. Мерзляк. А. Г. Математика: 5 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений // А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. − М.: Вентана-Граф, 2012.

11. Мерзляк А. Г. Дидактические материалы по математике для 5 класса // А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. − М.: Вентана-Граф, 2012.

12. Никольский С.М. Арифметика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 1999-2005. – 255 с.

13. Полякова, Т.С. История математического образования в России. Два века. – М.: Изд. Московского ун-та, 2002.

14. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений// А.А. Темербекова. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 490 с.

15. Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах.: Книга для учителя// А.В. Шевкин. – М.:Галс плюс, 1998. – 168 с.

16. Шевкин А.В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики”: Лекции 1 – 4// А.В.Шевкин. М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 88 с.

17. Шевкин А.В. Роль текстовых задач в школьном курсе математике. Математика.// А.В. Шевкин– 2005. – № 17. – c. 23-30.

18. Ресурсы Интернет: http: //www.eidos.ru/journal/2002/0920.htm

19. Ресурсы Интернет: http://www.erudition.ru

20. Ресурсы Интернет: http:// docs.google.com

21. Ресурсы Интернет: http://ipk.admin.tstu.ru/sputnik

23