Логические ошибки в доказательстве парадоксы

Логические ошибки – это то, что встречается у каждого из нас. В данной статье мы рассмотрим примеры логических ошибок, которые, так или иначе, встречаются в нашей повседневной жизни.

Основы логики мы рассматривали отдельно. Настоятельно рекомендуем ознакомиться с ними и узнать 4 главных закона логики. Также обратите внимание на когнитивные искажения, или распространенные ошибки мышления. Очень интересно!

Но сейчас мы будем говорить только о логических ошибках.

Подмена тезиса – это логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом, но имеющего совершенно иное значение.

Другая популярная логическая ошибка – «предвосхищение основания». Она заключается в том, что в качестве аргументов используются недоказанные, как правило, произвольно взятые положения: ссылаются на слухи, на ходячие мнения, высказанные кем-то предположения или даже на собственный вымысел, выдавая их за аргументы, якобы обосновывающие тезис.

В действительности же доброкачественность таких доводов лишь предвосхищается, но не устанавливается с несомненностью. Обычно подобные лже-аргументы сопровождаются фразами: «Как абсолютно всем известно…», «Кто же будет спорить с тем, что…», «Само собой разумеется, что…», «Каждому известно, что…», дабы рассеять возможные сомнения у простого слушателя.

Что такое Логическая Ошибка

Логическая ошибка – в логике, философии и прочих науках, изучающих познание, ошибка, связанная с нарушением логической правильности умозаключений.

Ошибочность обусловлена каким-либо логическим недочётом в доказательстве, что делает доказательство неверным в целом.

Если человеку, который смотрит на уходящие вдаль рельсы железной дороги, кажется, что они сходятся на горизонте в одной точке, то он ошибается. Ошибается тот, кому кажется, что падение одного зерна на землю не производит ни малейшего шума, что пушинка не имеет веса и т. д.

Можно ли назвать эти ошибки логическими? Нет. Они связаны с обманом зрения, слуха и т. д., это ошибки чувственного восприятия.

Логические же ошибки относятся к мыслям. Причем не к мыслям как таковым, а к тому, как связывается одна мысль с другой, к отношениям между различными мыслями.

Нарушение закона тождества

В нашей повседневной жизни часто приходится наблюдать нарушение одного из главных законов логики – закона тождества. Взять, например, такой разговор.

– Можно мне взять твои книги?

– Возьми.

– А я не хочу их брать.

– Тогда не бери.

– Он запретил мне брать свои книги.

Здесь в выражении «не бери» смешиваются два разных суждения: «не бери» в смысле «можешь не брать» и «не бери» в смысле «нельзя брать», в результате чего нарушается закон тождества и неизбежно возникает недоразумение.

Часто самые незначительные изменения во фразе, например, перенос ударения, могут совершенно изменить ее логический смысл.

Вспомним недоразумение, которое возникло в связи с высказыванием Исаака Ньютона: «Гипотез не сочиняю». Многих удивляло, что Ньютон (см. интересные факты о Ньютоне), несмотря на это заявление, сам выдвигал много гипотез.

В действительности же оснований для удивления нет, и те, кто усматривает здесь противоречие, просто нарушают закон тождества. В приведенном высказывании Ньютона нужно поставить логическое ударение на слове «сочиняю», и тогда оно будет иметь смысл: «Гипотез не сочиняю, но выдвигаю их на основе фактов».

Некоторые истолковали, его иначе и, поставив логическое ударение на слове «гипотез», вложили в это высказывание совсем иной смысл: «Гипотез не выдвигаю, то есть, не создаю их вообще». На основе этого был сделан вывод, что Ньютон – противник всяких гипотез.

Нарушение закона исключенного третьего

Также нередко встречаются логические ошибки, связанные с нарушением закона исключенного третьего. Приведем классический пример.

В одной бане, вывешено объявление следующего содержания:

В камеру хранения принимаются:

• верхняя одежда,
• головные уборы,
• обувь,
• деньги и ценные вещи.

Не принимаются на хранение:

• огнестрельное и холодное оружие,
• горючие вещества,
• продукты,
• молотки и ножи.

В баню приходит гражданин, который хочет сдать вместе с одеждой связку книг. Гардеробщица отказывается брать книги, мотивируя тем, что их нет в списке вещей, принимающихся на хранение. Гражданин настаивает, ссылаясь на то, что и в списке предметов, не принимающихся на хранение, книги не указаны.

На основании указанного объявления суждение «книги принимаются» отрицается так же, как и суждение «книги не принимаются».

Логические ошибки мышления

В рассмотренных примерах противоречие возникает между двумя разными суждениями. Но законы мышления могут быть нарушены и внутри одного суждения.

Это бывает в тех случаях, когда из одного суждения вытекает другое, ему противоречащее. Например, древнегреческие софисты выдвинули утверждение «истинных суждений не существует».

Это утверждение опроверг Аристотель следующим образом.

Утверждение «истинных суждений не существует» является суждением. Если все суждения неистинны, то неистинно также и это суждение, то есть неистинно, что истинных суждений нет. А это значит, что истинные суждения существуют.

Такого же рода внутренне противоречивое суждение высказывает Пигасов в романе Тургенева «Рудин».

– Прекрасно! – промолвил Рудин, – стало быть, по-вашему, убеждений нет?

– Нет – и не существует.

– Это ваше убеждение?

– Да.

– Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай.

Логика Галилея

В истории науки были случаи, когда казавшиеся безусловно истинными суждения опровергались впоследствии путем обнаружения их внутренней логической несостоятельности.

Так, по вопросу о падении тел в физике в свое время считалась общепризнанной точка зрения, согласно которой скорость падающих тел тем больше, чем больше вес тела. Эту точку зрения опроверг Галилео Галилей, найдя в ней логическую ошибку. Сделал он это при помощи следующего рассуждения.

Пусть большой камень падает с какой-то определенной скоростью. Тогда другой камень, поменьше, будет падать с меньшей скоростью.

Теперь предположим, что мы сложили эти камни. С какой скоростью будет падать новый камень, вес которого равен весу двух первых?

1. С одной стороны, эта скорость должна быть меньше скорости первого камня, поскольку мы присоединили к нему камень, падающий с меньшей скоростью, и этим самым уменьшили скорость падения первого камня.
2. С другой стороны, вес камня, получившегося от сложения двух камней, больше веса каждого из них, поэтому и скорость его падения должна быть больше скорости каждого отдельного камня.
3. Получается противоречие: скорость двойного камня одновременно и меньше и больше скоростей каждого из двух первых камней, что противоречит закону исключенного третьего.

Чтобы устранить это противоречие, говорит Галилей, нужно сделать допущение, что все тела падают с одинаковым ускорением.

Таким образом, по неправильности суждений можно судить об их неистинности. Если два или более утверждения противоречат друг другу, то это значит, что в них заключена какая-то ложь.

К слову сказать, это обстоятельство используется на суде для уличения преступника. Запутавшись в противоречивых показаниях, преступник бывает вынужден сознаться в своем преступлении.

Софизмы

Если законы логики нарушаются умышленно, то мы имеем дело с софизмами (от греч. sophisma – «измышление, хитрость»), которые представляют собой внешне правильные доказательства ложных мыслей.

Приведем несколько популярных софизмов.

Разные числа

Числа 3 и 4 – это два разных числа, 3 и 4 – это 7, следовательно, 7 – это два разных числа.

В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т. е. налицо нарушение закона тождества.

Женщина – не человек

Или вот еще один пример софизма, где ловко прячется простая логическая ошибка.

Любой мужчина – человек. Женщина не мужчина. Следовательно, женщина – не человек.

Знаешь то, чего не знаешь

– Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?

– Нет.

– Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

– Знаю.

– Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Лекарство

Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

Вор

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

Как разоблачать софизмы

Для разоблачения софизма необходимо найти в рассуждении два объекта, которые умышленно и незаметно отождествляются.

При этом стоит заметить, что сделать это далеко не всегда просто. Именно поэтому так важно развивать логическое мышление.

Паралогизмы

От софизмов следует отличать паралогизмы (от греч. paralogismus – «неправильное рассуждение») – логические ошибки, допускаемые непроизвольно, в силу незнания, невнимательности или иных причин. Рассмотрим несколько примеров.

1. Один человек пожилого возраста доказывает, что сила его, несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась:

– В юности и молодости я не мог поднять штангу весом 200 кг. Сейчас я тоже не могу ее поднять, стало быть, сила моя осталась прежней.

1. В одной китайской семье родилась девочка. Когда ей исполнился год, к ее родителям пришел сосед и стал сватать девочку за своего двухлетнего сына. Отец сказал:

– Моей девочке всего год, а твоему мальчику целых два, т. е. он в два раза старше ее, значит, когда моей дочери будет 20 лет, твоему сыну будет уже 40. Зачем же мне выдавать свою дочь за старого жениха?!

Эти слова услышала жена и возразила:

– Сейчас нашей дочке год, а мальчику два, однако через год ей будет тоже два и они станут ровесниками, так что вполне можно в будущем выдать нашу девочку за соседского мальчика.

1. Маленький мальчик спрашивает:

– Мама, что от нас дальше – Луна или Африка?

– Конечно же Африка, ведь Луну отсюда видно, а Африку – нет!

Логические парадоксы

Также от софизмов следует отличать логические парадоксы (греч. paradoxes – «неожиданный, странный»).

Парадокс в широком смысле слова – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Логический парадокс – это такая необычная и удивительная ситуация, когда два противоречащих суждения не только являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из друга, друг друга обуславливают.

Если софизм – это всегда какая-либо уловка, преднамеренная логическая ошибка, которую можно обнаружить, разоблачить и устранить, то парадокс представляет собой неразрешимую ситуацию.

Это своего рода мыслительный тупик, «камень преткновения» в логике: за всю ее историю было предложено множество разнообразных способов преодоления и устранения парадоксов, однако ни один из них до сих пор не является исчерпывающим.

Парадокс лжеца

Наиболее известный логический парадокс – это парадокс «лжеца». Часто его называют «королем логических парадоксов». Он был открыт еще в Древней Греции.

По преданию, философ Диодор Кронос дал обет не есть до тех пор, пока не разрешит этот парадокс. В конечном счете, он умер от голода, так и не сумев решить эту логическую головоломку. Другой мыслитель – Филет Косский впал в отчаяние от невозможности найти решение парадокса «лжеца» и покончил с собой, бросившись со скалы в море.

Существует несколько формулировок парадокса лжеца. Наиболее коротко и просто он формулируется в ситуации, когда человек произносит простую фразу: Я лжец.

Анализ этого элементарного и бесхитростного на первый взгляд высказывания приводит к ошеломляющему результату. Как известно, любое высказывание (в том числе и вышеприведенное) может быть или истинным или ложным.

Рассмотрим последовательно оба случая, в первом из которых это высказывание является истинным, а во втором – ложным.

• Допустим, что фраза «Я лжец» истинна, т. е. человек, который произнес ее, сказал правду. Но в этом случае он действительно лжец, следовательно, произнеся данную фразу, он солгал.
• Теперь предположим, что фраза «Я лжец» ложна, т. е. человек, который произнес ее, солгал, но в этом случае он не лжец, а правдолюб. Следовательно, произнеся данную фразу, он сказал правду.

Получается нечто удивительное и даже невозможное: если человек сказал правду, то он солгал; а если он солгал, то он сказал правду. Два противоречащих суждения не только одновременно истинны, но и вытекают друг из друга.

Парадокс деревенского парикмахера

Другой известный логический парадокс, обнаруженный в начале 20 века английским философом, логиком и математиком Бертраном Расселом, – это парадокс «деревенского парикмахера».

Представим себе, что в некой деревне есть только один парикмахер, бреющий тех ее жителей, которые не бреются сами. Анализ этой незамысловатой ситуации приводит к необыкновенному выводу.

Зададимся вопросом: может ли деревенский парикмахер брить самого себя? Рассмотрим оба варианта, в первом из которых он сам себя бреет, а во втором – не бреет.

• Допустим, что деревенский парикмахер сам себя бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые бреются сами и которых не бреет парикмахер, следовательно, в этом случае, он сам себя не бреет.
• Теперь предположим, что деревенский парикмахер сам себя не бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые не бреются сами и которых бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя бреет.

Как видим, получается невероятное: если деревенский парикмахер сам себя бреет, то он сам себя не бреет; а если он сам себя не бреет, то он сам себя бреет (два противоречащих суждения являются одновременно истинными и взаимообуславливают друг друга).

Парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера» вместе с другими подобными им парадоксами также называют антино́миями (греч. antinomia – «противоречие в законе»), т. е. рассуждениями, в которых доказывается, что два высказывания, отрицающие друг друга, вытекают одно из другого.

Считается, что антиномии представляют собой наиболее крайнюю форму парадоксов. Однако довольно часто термины «логический парадокс» и «антиномия» рассматриваются как синонимы.

Протагор и Эватл

Менее удивительную формулировку, но не меньшую известность, чем парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера», имеет парадокс «Протагор и Эватл», также появившийся в Древней Греции.

В основе этого логического парадокса лежит незатейливая на первый взгляд история, которая заключается в том, что у софиста Протагора был ученик Эватл, бравший у него уроки логики и риторики.

Учитель и ученик договорились, что Эватл заплатит Протагору гонорар за обучение только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс.

Однако по завершении обучения Эватл не стал участвовать ни в одном процессе и денег учителю, разумеется, не платил. Протагор пригрозил ему, что подаст на него в суд и тогда Эватлу в любом случае придется заплатить.

– Тебя или присудят к уплате гонорара, или не присудят, – сказал ему Протагор, – если тебя присудят к уплате, ты должен будешь заплатить по приговору суда; если же тебя не присудят к уплате, то ты, как выигравший свой первый судебный процесс, должен будешь заплатить по нашему уговору.

На это Эватл ему ответил:

– Все правильно: меня или присудят к уплате гонорара, или не присудят; если меня присудят к уплате, то я, как проигравший свой первый судебный процесс, не заплачу по нашему уговору; если же меня не присудят к уплате, то я не заплачу по приговору суда.

Таким образом, вопрос о том, должен Эватл заплатить Протагору гонорар или нет, является неразрешимым.

Договор учителя и ученика, несмотря на его вполне невинный внешний вид, является внутренне, или логически, противоречивым, так как он требует выполнения невозможного действия: Эватл должен и заплатить за обучение, и не заплатить одновременно.

В силу этого сам договор между Протагором и Эватлом, а также вопрос об их тяжбе представляет собой не что иное, как логический парадокс.

Решить этот спор можно было бы лишь в том случае, если бы обе стороны соблюдали закон тождества и в качестве основания для уплаты или неуплаты брали что-нибудь одно: либо решение суда, либо свой договор.

Как избегать логических ошибок

Как же научиться не делать логических ошибок, то есть мыслить правильно, во всех случаях, по каким угодно вопросам, знакомым или впервые встретившимся, о каких угодно предметах, привычных и непривычных?

Повседневная жизненная практика, «здравый смысл», как уже говорилось, во многих случаях помогают избежать логических ошибок, однако отнюдь не гарантируют избавление от них.

Конечно, чем шире практика, чем с большим количеством разнообразных предметов и видов деятельности сталкивается человек, тем больше возможностей он имеет для развития у себя правильного мышления.

Расширение кругозора, углубление фактических знаний, знакомство с самыми различными рассуждениями, несомненно, способствуют развитию мышления вообще.

Широко образованный, развитой человек быстрее заметит логическую ошибку в рассуждении даже и тогда, когда она не касается непосредственно его специальности, его обычных, повседневных занятий.

Поэтому изучение различных наук имеет большое значение, ведь каждая наука так или иначе, в той или иной степени связана с рассуждениями.

Использованная литература:

Авенир Уемов «Логические ошибки»,

Дмитрий Гусев «Удивительная логика».

Что же, теперь, когда вы знакомы с различными примерами логических ошибок, можете пройти тест на логику.

Также обратите внимание на 5 задач на логику, 8 задач на смекалку, известную загадку Толстого про шапку и знаменитый тест Эйнштейна. Всё это поможет вам прокачать свой мозг, существенно снизив количество логических ошибок в будущем.

Если вам понравилась статья про логические ошибки – поделитесь ею в социальных сетях. Если вы знаете интересные примеры логических ошибок – напишите их в комментариях и подписывайтесь на сайт interesnyefakty.org любым удобным способом.

Понравился пост? Нажми любую кнопку:

Логика – наука о законах правильного мышления. А логические парадоксы – своего рода «белые пятна», которые нарушают ее законы. Над некоторыми парадоксами не одно поколение ученых сотни лет ломает голову, сходя с ума.

Для начала следует определиться, что такое «логический парадокс». Многие путают парадоксы с софизмами. Однако это не одно и то же.  Софизмы – это ложные высказывания, преднамеренные логические ошибки, нарушающие законы тождества.

Вот несколько самых знаменитых софизмов:

— Все, кто считает человека невиновным, должны быть против его наказания. Если кто-то против наказания, значит, считает человека невиновным.

— Чем больше самоубийц, тем меньше самоубийц.

Софизмы – это преднамеренные уловки, ловушки, нарушающие законы логики. Точно известно, что дважды два – четыре, но некоторые софизмы с помощью таких уловок утверждают, что дважды два – три.

Логические парадоксы

Логический парадокс – это некая удивительная ситуация, в которой два противоречащих суждения являются одновременно истинными и даже могут вытекать друг из друга.

Популярные примеры:

Ахиллес и черепаха

Одной из самых интересных считается загадка древнегреческого философа Зенона про черепаху и Ахиллеса, который никогда не догонит животное, несмотря на то, что двигается быстрее. Представьте, Ахиллес бежит за черепахой, между ними тысяча шагов. За то время, пока он преодолеет это расстояние, черепаха проползет вперед сто шагов. Когда герой пробежит сто метров, черепаха оторвется еще на десять, и так далее. Эта гонка будет продолжаться бесконечно. Парадокс построен на ложном представлении о бесконечной делимости расстояния и времени.

Парадокс лжеца

Ученые на протяжении двух с половиной тысяч лет ломали голову в поисках решения этой загадки. Есть много вариаций парадокса лжеца.

Классический пример – высказывание «Я всегда лгу». Но в случае, если «всегда лгу», значит, в данный момент говорю правду? А значит, не лгу? На лицо противоречие.

Разные вариации этого знаменитого парадокса люди часто используют в жизни. Представьте, мужчина произносит фразу: «Все мужчины лгут». Выходит и тот, кто обронил эту фразу, тоже соврал?

По легенде, некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой, а известный древнегреческий логик Диодор Кронос объявил голодовку до тех пор, пока не решит «лжеца», и в итоге умер, потерпев фиаско.

Бертран Рассел предложил решение, используя закон исключенного третьего. Ученый применил нестрогое условие «я лгу, но не всегда». Таким образом, парадокс перестает существовать.

Парадокс Рассела

Деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется». Как цирюльник поступит с самим собой? Какой ответ не дашь – получается противоречие. В итоге все сводится к тому, что такого брадобрея просто нет.

Парадокс Эватла и Протагора

В основе – история о судебной тяжбе между древнегреческим софистом Протагором и его учеником Эватлом. Согласно заключенному между ними договору, Эватл должен был заплатить крупную сумму учителю, как только выиграет первый судебный процесс. Однако по окончании учебы Эватл не стал работать по профессии и не выполнил обещание. Учитель подал на него в суд – таким образом, ожидая первого судебного процесса ученика. По замыслу Протагора, хитрец либо выиграет процесс, либо проиграет. В первом случае — заплатит по договору, во втором — по решению суда. Однако все оказалось не так просто.

Эватл ответил: «Ни в том, ни в другом случае я не обязан платить. Если выиграю, то не буду платить по решению суда, если проиграю, то по договору». В итоге судьи так и не вынесли окончательный приговор. Отличная задачка для студентов юридического факультета, не правда ли?

Готфрид Лейбниц предложил решение парадокса. Ученый заявил, спор легко решается в рамках римского права. По его мнению, судья должен отказать Протагору, так как Эватл еще не выиграл ни одного дела на тот момент. Но после тяжбы можно снова подать в суд и потребовать деньги, так как Эватл уже выиграл свое первое дело и ситуация изменилась.  

Как люди используют логические парадоксы в жизни

В одной из своих лекций доктор философских наук, профессор МПГУ Дмитрий Гусев привел примеры, как по-разному люди используют логические парадоксы в общении и как часто заблуждаются в своих выводах.  

«Верую, ибо абсурдно»

Наверняка, все слышали эту фразу, и, возможно, даже задумывались, почему она так нелепо звучит. Почему «ибо»? Почему нельзя сказать: «Верую, хотя и абсурдно»? Эта фраза часто звучит в религии, в то время как некоторые атеисты считают выражение глупым. Вот здесь и кроется распространенная логическая ловушка.

Представьте похожую ситуацию: студент на лекции не смог понять сложную тему. И вместо того, чтобы подтянуть знания или задать вопрос профессору, произносит в сердцах: «Какая-то чушь!» Значит ли это, что все сказанное профессором не имеет смысла? Или просто знаний и усердности студента не хватает?

Фраза «верую, ибо абсурдно» означает, что человек верит, потому что не способен объяснить. Если что-то не укладывается в голове, значит, виновата голова, а не информация, которая туда не укладывается.

Парадоксы детской логики

Еще пример. Родители отдают дочку в садик, а ребенок не хочет туда. Девочка уверена, что мама ее любит, значит, не должна вести в садик. Но раз отдает воспитателям, значит, не любит? Или все-таки любит, и я на самом деле хочу в садик? Детский ум еще не созрел и выдает распространенные логические ошибки. Хотя, случается, что и взрослые иногда подменяют понятия подобным образом, не так ли?

5 логических уловок

Логическая уловка — заведомо ошибочный способ обоснования тезиса, который в силу учёта психологических особенностей собеседника обладает убеждающим воздействием. Ошибочность обусловлена каким-либо логическим недочётом в доказательстве, что делает доказательство в целом неверным. Подобным нас кормят почти каждый день.

Или вот такие простые подвохи.

Парадокс исчезающей клетки — известный класс задач (оптических иллюзий) на перестановку фигур, в которых изначально в условии введена замаскированная ошибка.

Или вот такие простые подвохи.

Парадокс исчезающей клетки — известный класс задач (оптических иллюзий) на перестановку фигур, в которых изначально в условии введена замаскированная ошибка.

Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13×5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S13×5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это — вогнутый 4-угольник). Это отчётливо заметно на рисунках 2 и 3 — «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) — внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13×5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S13×5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это — вогнутый 4-угольник). Это отчётливо заметно на рисунках 2 и 3 — «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) — внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

«Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией

Не всё так просто с нашими мозгами

Мозг женщины

Мозг мужчины
Решение задачи найдено!

Решение задачки:

Действительно, на любые сложные вопросы можно найти ответ с помощью математики, логики…

А вот и на мой взгляд наиболее обоснованный и правильный ответ:

Визуализация этого решения на картинке вверху…

И действительно, уникальная фигура, а значит лишняя та, которая просто отличается от остальных фигур тем, что не обладает ни каким из 4-х отличий.Остальные фигуры, отличаются от остальных одним из 4-х свойств:
-Форма
-Цвет
-Окантовка
-Размер
 Наша логика это замечает, но общую картину не видит.Поэтому и ответы решения сводятся к одному из 4-х свойств.
 Правы оказались те, кто выбрал первую фигуру…
Вот так вот, математика/логика и находит решения на обыденные проблемы…

Парадокс дней рождения

Не всё так просто с нашими мозгами

Мозг женщины

Мозг мужчины
Решение задачи найдено!

Решение задачки:

Действительно, на любые сложные вопросы можно найти ответ с помощью математики, логики…

А вот и на мой взгляд наиболее обоснованный и правильный ответ:

Визуализация этого решения на картинке вверху…

И действительно, уникальная фигура, а значит лишняя та, которая просто отличается от остальных фигур тем, что не обладает ни каким из 4-х отличий.Остальные фигуры, отличаются от остальных одним из 4-х свойств:
-Форма
-Цвет
-Окантовка
-Размер
 Наша логика это замечает, но общую картину не видит.Поэтому и ответы решения сводятся к одному из 4-х свойств.
 Правы оказались те, кто выбрал первую фигуру…
Вот так вот, математика/логика и находит решения на обыденные проблемы…

Парадокс дней рождения

Парадокс дней рождения — утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. С практической точки зрения это означает, что если, например, в вашем классе более 22 учеников, то более вероятно, что у кого-то из одноклассников дни рождения придутся на один день, чем что у каждого будет свой собственный день рождения.

Для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя 100 % она достигает, согласно принципу Дирихле, только когда в группе не менее 367 человек (с учётом високосных лет).

Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть (23 × 22)/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.

Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим — похожим, на первый взгляд, — случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

Парадокс парикмахера (брадобрея): Если парикмахер бреет всех, кто не бреется сам, то кто бреет парикмахера?

Представьте, что вы проходите мимо парикмахерской с табличкой, на которой написано: «Ты бреетесь сами? Если нет, то и я побрею вас! Брею любого, кто не бреется сам, и никто другой кроме меня.» Всё вроде бы просто, пока в голове не возникает мысль — а кто же бреет парикмахера? Если он себя не бреет, то он относится к тем жителям деревни, которых он должен брить. Значит, он должен себя брить. Если же он себя бреет, то он не относится к тем жителям своей своей деревни, которых он должен брить. Значит, он не должен себя брить.

Этот парадокс пытался обойти ученый Бертран Рассел используя теорию множеств, ну или просто можно предположить, что парикмахер — женщина.

Парадокс Пиноккио: Что будет, если Пиноккио скажет: «Мой нос сейчас вырастет?»

Представьте, что вы проходите мимо парикмахерской с табличкой, на которой написано: «Ты бреетесь сами? Если нет, то и я побрею вас! Брею любого, кто не бреется сам, и никто другой кроме меня.» Всё вроде бы просто, пока в голове не возникает мысль — а кто же бреет парикмахера? Если он себя не бреет, то он относится к тем жителям деревни, которых он должен брить. Значит, он должен себя брить. Если же он себя бреет, то он не относится к тем жителям своей своей деревни, которых он должен брить. Значит, он не должен себя брить.

Этот парадокс пытался обойти ученый Бертран Рассел используя теорию множеств, ну или просто можно предположить, что парикмахер — женщина.

Парадокс Пиноккио: Что будет, если Пиноккио скажет: «Мой нос сейчас вырастет?»

Как известно, что у Пиноккио нос становился длиннее, если он врал, но что будет в той ситуации, если Пиноккио скажет: «Мой нос сейчас вырастет»? И любая попытка придать этому выражению статус лжи или истины приводит к бесконечному противоречию.

Парадокс бережливости: Чем больше мы откладываем на черный день, тем быстрее он наступит.

Парадокс формулируется следующим образом: «Чем больше мы откладываем на черный день, тем быстрее он наступит». Если во время экономического спада все начнут экономить, то совокупный спрос уменьшится, что повлечет за собой уменьшение зарплат и, как следствие, уменьшение сбережений. То есть можно утверждать, что когда все экономят, то это неизбежно должно привести к уменьшению совокупного спроса и замедлению экономического роста.

Проще говоря, если все люди, резко начнут экономить и откладывать деньги, то все окажутся в итоге бедными. Тем самым: чем больше у всех денег в заначке, тем все беднее. Соответственно, для экономического роста необходимо увеличивать совокупные расходы, которые будут заставлять расти совокупный доход, но это уже обратная модель, так как сбережений у людей просто не будет оставаться.

Парадокс Тесея : Если заменить все части корабля, будет ли это все тот же корабль?

Парадокс формулируется следующим образом: «Чем больше мы откладываем на черный день, тем быстрее он наступит». Если во время экономического спада все начнут экономить, то совокупный спрос уменьшится, что повлечет за собой уменьшение зарплат и, как следствие, уменьшение сбережений. То есть можно утверждать, что когда все экономят, то это неизбежно должно привести к уменьшению совокупного спроса и замедлению экономического роста.

Проще говоря, если все люди, резко начнут экономить и откладывать деньги, то все окажутся в итоге бедными. Тем самым: чем больше у всех денег в заначке, тем все беднее. Соответственно, для экономического роста необходимо увеличивать совокупные расходы, которые будут заставлять расти совокупный доход, но это уже обратная модель, так как сбережений у людей просто не будет оставаться.

Парадокс Тесея : Если заменить все части корабля, будет ли это все тот же корабль?

Корабль Тесея, парадокс Тесея — парадокс, который можно сформулировать так: «Если все составные части исходного объекта были заменены, остаётся ли объект тем же объектом?».

Согласно греческому мифу, пересказанному Плутархом, корабль, на котором Тесей вернулся с Крита в Афины, хранился афинянами до эпохи Деметрия Фалерского, и ежегодно отправлялся со священным посольством на Делос. При починке в нём постепенно заменяли доски, до тех пор, пока среди философов не возник спор, тот ли это ещё корабль, или уже другой, новый? Кроме того, возникает вопрос: в случае постройки из старых досок второго корабля какой из них будет настоящим?

Аристотель утверждал, что это остается всё тот же корабль, так как его суть не изменилась. А другой мыслитель Терри Пратчетт, привел пример с топором, у которого в следствии износа, время от времени время меняется ручка, он утверждал, что этот топор уже не является всё тем же физически, но эмоционально это один и тот же топор.

Парадокс дедушки: Что будет, если бы вы смогли вернуться назад во времени и убить своего дедушку, прежде чем он встретит вашу бабушку?

Парадокс дедушки впервые был описан писателем-фантастом Рене Баржавелем в 1943 году в книге «Le Voyageur неблагоразумно» (Неосторожный путешественник).  Парадокс заключается в следующем, что было бы, если бы человек , который мог бы путешествовать во времени, переместился в то время, когда его дедушка ещё не встретил его бабушку, и убил бы его. По логике он бы просто перестал не родился на свет, так как  у его дедушки не было бы потомка в лице путешествующего, а если он не родился, то соответственно он не мог бы пропутешествовать во времени и убить своего дедушку, а следовательно он бы родился. Мыслители также предполагают, что убив своего дедушку, он бы просто может измениться сам и существовать в альтернативной реальности, так как его бабушка встретила бы другого мужчину и родила ребенка, и это был бы один и тот же путешественник, только уже с другими генами.

Парадокс ценностей: Почему бриллианты стоят дороже, чем вода, если вода жизненно необходима для человека, в то время как бриллианты для жизни бесполезны?

Парадокс дедушки впервые был описан писателем-фантастом Рене Баржавелем в 1943 году в книге «Le Voyageur неблагоразумно» (Неосторожный путешественник).  Парадокс заключается в следующем, что было бы, если бы человек , который мог бы путешествовать во времени, переместился в то время, когда его дедушка ещё не встретил его бабушку, и убил бы его. По логике он бы просто перестал не родился на свет, так как  у его дедушки не было бы потомка в лице путешествующего, а если он не родился, то соответственно он не мог бы пропутешествовать во времени и убить своего дедушку, а следовательно он бы родился. Мыслители также предполагают, что убив своего дедушку, он бы просто может измениться сам и существовать в альтернативной реальности, так как его бабушка встретила бы другого мужчину и родила ребенка, и это был бы один и тот же путешественник, только уже с другими генами.

Парадокс ценностей: Почему бриллианты стоят дороже, чем вода, если вода жизненно необходима для человека, в то время как бриллианты для жизни бесполезны?

Парадокс ценностей, также известный как водно-алмазный парадокс, является очевидным противоречием, вода необходима для выживания, но бриллианты имеют гораздо более высокую цену на рынке. При низких уровнях потребления, вода гораздо ценнее, чем бриллианты. Дело в том, что доступной воды на данный момент больше чем бриллиантов, и не всё человечество остро нуждается в воде. Если оценивать полезность бриллианта, то стакан воды будет куда более полезен, чем драгоценный камень, но на рынке вам никто не продаст бриллиант по цене стакана воды

Парадокс всемогущества.

Этот парадокс гласит, что кто-то всемогущ, то он может создать любую ситуацию, в том числе такую, в которой будет неспособен что-либо сделать. В упрощенном варианте это звучит так: может ли Бог создать камень, который не сможет поднять? С одной стороны, он всемогущ, и может создать какой-угодно камень. С другой стороны, если он не может поднять созданный собой же камень, значит он не всемогущ! Разные философы и теологи по-разному решают эту задачу, обычно считается, что если всемогущая сущность может создать камень, который не сможет поднять, то это подпадает под ее всемогущество, но тем не менее этот камень будет для сущности подъемным. В-общем, все запутанно. =)

Парадокс стрелы.

В парадоксе стрелы говорится, что для того, чтобы считать предмет движущимся, он должен изменять положение в пространстве. Для примера рассматривается стрела в полете. В любой момент времени эта самая стрела изменяет свое положение, переходя в позицию, где она уже находится, или в позицию, где она не находится. Если развить эти утверждения, то можно сказать, что стрела не может находится в месте, где она не находится. так как это материальное тело, то есть остается только один вариант – находиться в той точке пространства, где стрела уже находится, то есть движение как таковое отсутствует. Другое название этого парадокса – парадокс лучника, и в отличие от первых двух, представляющих пространство, этот представляет время, а именно деление времени не на промежутки, а на точки.

Парадокс повешенного.

Судья сказал осужденному узнику, что он будет повешен в один из будних дней следующей недели, причем сам узник узнает об этом неожиданно. До момента, когда палач постучит в дверь его камеры в полдень, узник будет жить. Заключенный путем различных умозаключений приходит к мысли, что ему удастся избежать казни по следующим причинам. Он считает, что казнь не состоится в пятницу, потому что если его не казнят в четверг, то останется только один день, когда его могут повесить — пятница, и это не будет сюрпризом. Двигаясь дальше, он предположил, что казнь не может состояться в среду, так как останется только четверг, когда его могут казнить, а как ранее он “посчитал”, в четверг казнить его нельзя, так как это не будет сюрпризом, а это основное требование судьи. Перемещаясь таким образом по дням недели, он последовательно исключил все дни недели и решил, что повешенье ему не грозит.Судья постучал в дверь его камеры во вторник, что оказалось для узника полной неожиданностью – требования судьи были полностью выполнены, и заключенного не спасли все его логические выкладки.

Парадокс непреодолимой силы.

Формулируется следующим образом – что будет, если непреодолимая сила столкнется с непоколебимым объектом? В зависимости от точки зрения действие будет происходить по-разному. Как утверждает современная наука, нет абсолютно непреодолимой силы, как и абсолютно непоколебимых объектов, и самая крохотная сила приводит к движению объекта любого веса. непоколебимый объект имеет бесконечную степень инерции и соответственно, бесконечную массу. При бесконечной массе объект под действием гравитации раздавит сам себя и превратиться в точку, а бесконечная сила, в свою очередь, требует бесконечного количества энергии, которой также нет.С точки же зрения логики, если есть в теории такое понятие, как бесконечная сила, то не может быть непоколебимого объекта. Этот парадокс очень похож на формулировку самого первого парадокса – всемогущего существа и неподъемного камня.

ТЕМА
№28

«Логические
ошибки и парадоксы».

План:

1. Понятие
логической ошибки и их виды. Содержательные
и формальные ошибки. Софизмы и паралогизмы.

2. Что такое парадокс?

Понятие логической
ошибки и их виды. Содержательные и
формальные ошибки. Софизмы и паралогизмы.

Абстрактное мышление стремится к истине.
Она познается через него и благодаря
ему, но достигается не всегда. Логика –
это наука о законах правильного мышления,
т.е. такого мышления, которое устанавливает
истину. Каждое правило логики выступает
условием истинности мышления, а ошибка
свидетельствует о нарушении правила.
Сколько правил, столько и ошибок. В уме
как в жизни.

Ошибки бывают содержательными и
формальными. Содержательные указывают
на несоответствие мысли в той или иной
её форме реальной действительности, а
формальные – на нарушение законов и
правил образования мысли. Формальная
логика занимается преимущественно
выявлением правильных форм рассуждения,
хотя в индуктивных выводах и доказательствах
она формулирует и содержательные
правила.

Другой важной классификацией логических
ошибок является их деление на паралогические
и софистические. Паралогизмом в логике
называется невольная ошибка (по
невнимательности, по незнанию логики).
Софизм как ошибка – это ложная мудрость,
интеллектуальное мошенничество, подмена
истинного знания – ложным. Софизм
(ложные выводы) были изучены еще в
античности. Все знают знаменитые софизмы
«Рогатый», «О добре» и др.

В то же время софизм – не простое явление.
Конечно, можно просто назвать его ошибкой
и успокоиться. Но на самом деле софизм
является одним из феноменов мышления,
стимулирующим развитие логики. Многие
логические результаты были получены в
ходе мучительных раздумий о софизмах,
парадоксах, апориях, антиномиях и других
реальностях мышления. Формализация
мышления и развитие теории доказательства,
свободного от ссылок на очевидность и
интуитивную ясность, продиктованы
стремлением уйти от двусмысленностей
естественного языка. Однако этот уход
излишне сблизил логику с техникой и с
программированием, в частности, и отдалил
её от гуманитарных проблем. Ради истины,
как известно, рискуют многим, поэтому
сегодня человечество больше занято
сверхъестественными и искусственными
феноменами, нежели естественными.

Классическая формальная логика охраняет
гуманитарную интенцию логики, ориентируясь
на коммуникацию и живую речевую практику.
Разбирая одну тему логики за другой, мы
тем самым изучали её правила и возможные
ошибки. Поэтому сейчас, зная содержание
её предмета, можно классифицировать
логические ошибки по основным разделам
логического знания: ошибки понятия,
ошибки суждения, ошибки дедуктивного
вывода, ошибки индуктивных обобщений
и ошибочных аналогий, ошибки доказательства
и опровержения, т.е. аргументации. Для
того, чтобы все их перечислить, необходимо
все начать сначала…

Что такое парадокс?

Тезис
и антитезис образуют логическое
противоречие (как утверждение и
отрицание). В этом и заключается логический
смысл косвенного доказательства. Закон
непротиворечия запрещает одновременную
истинность утверждения и отрицания.
Значит, установив логическое значение
одного из противоречивых положений, мы
можем «автоматически» получить логическое
значение другого положения. Если в ходе
доказательства утверждается одновременная
истинность противоречивых положений,
то это противоречит правилам. Такую
форму мысли греки
Парадокс
назвали парадоксом
(от греч. para – два и doxos – мнение). Эта
форма мысли активно используется в
литературном выражении (метафора), в
маркетинге («парадоксальная реклама»),
однако в формальной логике она является
ошибкой.

Упражнения:

1. Определите вид
   логической ошибки:
   1.1. Лекарство,
   которое принимает больной — это
   добро.
   Чем
   больше добра, тем лучше

   Значит, чем больше принимать лекарства,
   тем лучше.

Софизм (ложный
вывод) – формальная ошибка.

1.2. Все европейские
государства — члены шенгенского союза.
Значит и Англия, как европейская страна,
входит в шенгенскую группу.

Паралогизм –
содержательная ошибка.

1.3. Все православные
являются христианами. Все католики —
тоже христиане. Значит, католики и
православные — это одно и то же.

Софизм – формальная
ошибка.

Соседние файлы в предмете Логика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание

1. Что такое Логическая Ошибка
2. Нарушение закона тождества
3. Нарушение закона исключенного третьего
4. Логические ошибки мышления
   • Логика Галилея
5. Софизмы
   • Разные числа
   • Женщина – не человек
   • Знаешь то, чего не знаешь
   • Лекарство
   • Вор
6. Как разоблачать софизмы
7. Паралогизмы
8. Логические парадоксы
   • Парадокс лжеца
   • Парадокс деревенского парикмахера
   • Протагор и Эватл
9. Как избегать логических ошибок

Логические ошибки – это то, что встречается у каждого из нас. В данной статье мы рассмотрим примеры логических ошибок, которые, так или иначе, встречаются в нашей повседневной жизни.

Основы логики мы рассматривали отдельно. Настоятельно рекомендуем ознакомиться с ними и узнать 4 главных закона логики. Также обратите внимание на когнитивные искажения, или распространенные ошибки мышления. Очень интересно!

Но сейчас мы будем говорить только о логических ошибках.

Подмена тезиса – это логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом, но имеющего совершенно иное значение.

Другая популярная логическая ошибка – «предвосхищение основания». Она заключается в том, что в качестве аргументов используются недоказанные, как правило, произвольно взятые положения: ссылаются на слухи, на ходячие мнения, высказанные кем-то предположения или даже на собственный вымысел, выдавая их за аргументы, якобы обосновывающие тезис.

В действительности же доброкачественность таких доводов лишь предвосхищается, но не устанавливается с несомненностью. Обычно подобные лже-аргументы сопровождаются фразами: «Как абсолютно всем известно…», «Кто же будет спорить с тем, что…», «Само собой разумеется, что…», «Каждому известно, что…», дабы рассеять возможные сомнения у простого слушателя.

Что такое Логическая Ошибка

Логическая ошибка – в логике, философии и прочих науках, изучающих познание, ошибка, связанная с нарушением логической правильности умозаключений.

Ошибочность обусловлена каким-либо логическим недочётом в доказательстве, что делает доказательство неверным в целом.

Если человеку, который смотрит на уходящие вдаль рельсы железной дороги, кажется, что они сходятся на горизонте в одной точке, то он ошибается. Ошибается тот, кому кажется, что падение одного зерна на землю не производит ни малейшего шума, что пушинка не имеет веса и т. д.

Можно ли назвать эти ошибки логическими? Нет. Они связаны с обманом зрения, слуха и т. д., это ошибки чувственного восприятия.

Логические же ошибки относятся к мыслям. Причем не к мыслям как таковым, а к тому, как связывается одна мысль с другой, к отношениям между различными мыслями.

Нарушение закона тождества

В нашей повседневной жизни часто приходится наблюдать нарушение одного из главных законов логики – закона тождества. Взять, например, такой разговор.

– Можно мне взять твои книги?

– Возьми.

– А я не хочу их брать.

– Тогда не бери.

– Он запретил мне брать свои книги.

Здесь в выражении «не бери» смешиваются два разных суждения: «не бери» в смысле «можешь не брать» и «не бери» в смысле «нельзя брать», в результате чего нарушается закон тождества и неизбежно возникает недоразумение.

Часто самые незначительные изменения во фразе, например, перенос ударения, могут совершенно изменить ее логический смысл.

Вспомним недоразумение, которое возникло в связи с высказыванием Исаака Ньютона: «Гипотез не сочиняю». Многих удивляло, что Ньютон (см. интересные факты о Ньютоне), несмотря на это заявление, сам выдвигал много гипотез.

В действительности же оснований для удивления нет, и те, кто усматривает здесь противоречие, просто нарушают закон тождества. В приведенном высказывании Ньютона нужно поставить логическое ударение на слове «сочиняю», и тогда оно будет иметь смысл: «Гипотез не сочиняю, но выдвигаю их на основе фактов».

Некоторые истолковали, его иначе и, поставив логическое ударение на слове «гипотез», вложили в это высказывание совсем иной смысл: «Гипотез не выдвигаю, то есть, не создаю их вообще». На основе этого был сделан вывод, что Ньютон – противник всяких гипотез.

Нарушение закона исключенного третьего

Также нередко встречаются логические ошибки, связанные с нарушением закона исключенного третьего. Приведем классический пример.

В одной бане, вывешено объявление следующего содержания:

В камеру хранения принимаются:

• верхняя одежда,
• головные уборы,
• обувь,
• деньги и ценные вещи.

Не принимаются на хранение:

• огнестрельное и холодное оружие,
• горючие вещества,
• продукты,
• молотки и ножи.

В баню приходит гражданин, который хочет сдать вместе с одеждой связку книг. Гардеробщица отказывается брать книги, мотивируя тем, что их нет в списке вещей, принимающихся на хранение. Гражданин настаивает, ссылаясь на то, что и в списке предметов, не принимающихся на хранение, книги не указаны.

На основании указанного объявления суждение «книги принимаются» отрицается так же, как и суждение «книги не принимаются».

Логические ошибки мышления

В рассмотренных примерах противоречие возникает между двумя разными суждениями. Но законы мышления могут быть нарушены и внутри одного суждения.

Это бывает в тех случаях, когда из одного суждения вытекает другое, ему противоречащее. Например, древнегреческие софисты выдвинули утверждение «истинных суждений не существует».

Это утверждение опроверг Аристотель следующим образом.

Утверждение «истинных суждений не существует» является суждением. Если все суждения неистинны, то неистинно также и это суждение, то есть неистинно, что истинных суждений нет. А это значит, что истинные суждения существуют.

Такого же рода внутренне противоречивое суждение высказывает Пигасов в романе Тургенева «Рудин».

– Прекрасно! – промолвил Рудин, – стало быть, по-вашему, убеждений нет?

– Нет – и не существует.

– Это ваше убеждение?

– Да.

– Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай.

Логика Галилея

В истории науки были случаи, когда казавшиеся безусловно истинными суждения опровергались впоследствии путем обнаружения их внутренней логической несостоятельности.

Так, по вопросу о падении тел в физике в свое время считалась общепризнанной точка зрения, согласно которой скорость падающих тел тем больше, чем больше вес тела. Эту точку зрения опроверг Галилей, найдя в ней логическую ошибку. Сделал он это при помощи следующего рассуждения.

Пусть большой камень падает с какой-то определенной скоростью. Тогда другой камень, поменьше, будет падать с меньшей скоростью.

Теперь предположим, что мы сложили эти камни. С какой скоростью будет падать новый камень, вес которого равен весу двух первых?

1. С одной стороны, эта скорость должна быть меньше скорости первого камня, поскольку мы присоединили к нему камень, падающий с меньшей скоростью, и этим самым уменьшили скорость падения первого камня.
2. С другой стороны, вес камня, получившегося от сложения двух камней, больше веса каждого из них, поэтому и скорость его падения должна быть больше скорости каждого отдельного камня.
3. Получается противоречие: скорость двойного камня одновременно и меньше и больше скоростей каждого из двух первых камней, что противоречит закону исключенного третьего.

Чтобы устранить это противоречие, говорит Галилей, нужно сделать допущение, что все тела падают с одинаковым ускорением.

Таким образом, по неправильности суждений можно судить об их неистинности. Если два или более утверждения противоречат друг другу, то это значит, что в них заключена какая-то ложь.

К слову сказать, это обстоятельство используется на суде для уличения преступника. Запутавшись в противоречивых показаниях, преступник бывает вынужден сознаться в своем преступлении.

Софизмы

Если законы логики нарушаются умышленно, то мы имеем дело с софизмами (от греч. sophisma – «измышление, хитрость»), которые представляют собой внешне правильные доказательства ложных мыслей.

Приведем несколько популярных софизмов.

Разные числа

Числа 3 и 4 – это два разных числа, 3 и 4 – это 7, следовательно, 7 – это два разных числа.

В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т. е. налицо нарушение закона тождества.

Женщина – не человек

Или вот еще один пример софизма, где ловко прячется простая логическая ошибка.

Любой мужчина – человек. Женщина не мужчина. Следовательно, женщина – не человек.

Знаешь то, чего не знаешь

– Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?

– Нет.

– Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

– Знаю.

– Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Лекарство

Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

Вор

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

Как разоблачать софизмы

Для разоблачения софизма необходимо найти в рассуждении два объекта, которые умышленно и незаметно отождествляются.

При этом стоит заметить, что сделать это далеко не всегда просто. Именно поэтому так важно развивать логическое мышление.

Паралогизмы

От софизмов следует отличать паралогизмы (от греч. paralogismus – «неправильное рассуждение») – логические ошибки, допускаемые непроизвольно, в силу незнания, невнимательности или иных причин. Рассмотрим несколько примеров.

1. Один человек пожилого возраста доказывает, что сила его, несмотря на преклонные годы, ничуть не уменьшилась:

– В юности и молодости я не мог поднять штангу весом 200 кг. Сейчас я тоже не могу ее поднять, стало быть, сила моя осталась прежней.

1. В одной китайской семье родилась дeвoчка. Когда ей исполнился год, к ее родителям пришел сосед и стал сватать дeвoчку за своего двухлетнего сына. Отец сказал:

– Моей дeвoчке всего год, а твоему мальчику целых два, т. е. он в два раза старше ее, значит, когда моей дочери будет 20 лет, твоему сыну будет уже 40. Зачем же мне выдавать свою дочь за старого жениха?!

Эти слова услышала жена и возразила:

– Сейчас нашей дочке год, а мальчику два, однако через год ей будет тоже два и они станут ровесниками, так что вполне можно в будущем выдать нашу дeвoчку за соседского мальчика.

1. Маленький мальчик спрашивает:

– Мама, что от нас дальше – Луна или Африка?

– Конечно же Африка, ведь Луну отсюда видно, а Африку – нет!

Логические парадоксы

Также от софизмов следует отличать логические парадоксы (греч. paradoxes – «неожиданный, странный»).

Парадокс в широком смысле слова – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Логический парадокс – это такая необычная и удивительная ситуация, когда два противоречащих суждения не только являются одновременно истинными (что невозможно в силу логических законов противоречия и исключенного третьего), но еще и вытекают друг из друга, друг друга обуславливают.

Если софизм – это всегда какая-либо уловка, преднамеренная логическая ошибка, которую можно обнаружить, разоблачить и устранить, то парадокс представляет собой неразрешимую ситуацию.

Это своего рода мыслительный тупик, «камень преткновения» в логике: за всю ее историю было предложено множество разнообразных способов преодоления и устранения парадоксов, однако ни один из них до сих пор не является исчерпывающим.

Парадокс лжеца

Наиболее известный логический парадокс – это парадокс «лжеца». Часто его называют «королем логических парадоксов». Он был открыт еще в Древней Греции.

По преданию, философ Диодор Кронос дал обет не есть до тех пор, пока не разрешит этот парадокс. В конечном счете, он умер от голода, так и не сумев решить эту логическую головоломку. Другой мыслитель – Филет Косский впал в отчаяние от невозможности найти решение парадокса «лжеца» и покончил с собой, бросившись со скалы в море.

Существует несколько формулировок парадокса лжеца. Наиболее коротко и просто он формулируется в ситуации, когда человек произносит простую фразу: Я лжец.

Анализ этого элементарного и бесхитростного на первый взгляд высказывания приводит к ошеломляющему результату. Как известно, любое высказывание (в том числе и вышеприведенное) может быть или истинным или ложным.

Рассмотрим последовательно оба случая, в первом из которых это высказывание является истинным, а во втором – ложным.

• Допустим, что фраза «Я лжец» истинна, т. е. человек, который произнес ее, сказал правду. Но в этом случае он действительно лжец, следовательно, произнеся данную фразу, он солгал.
• Теперь предположим, что фраза «Я лжец» ложна, т. е. человек, который произнес ее, солгал, но в этом случае он не лжец, а правдолюб. Следовательно, произнеся данную фразу, он сказал правду.

Получается нечто удивительное и даже невозможное: если человек сказал правду, то он солгал; а если он солгал, то он сказал правду. Два противоречащих суждения не только одновременно истинны, но и вытекают друг из друга.

Парадокс деревенского парикмахера

Другой известный логический парадокс, обнаруженный в начале 20 века английским философом, логиком и математиком Бертраном Расселом, – это парадокс «деревенского парикмахера».

Представим себе, что в некой деревне есть только один парикмахер, бреющий тех ее жителей, которые не бреются сами. Анализ этой незамысловатой ситуации приводит к необыкновенному выводу.

Зададимся вопросом: может ли деревенский парикмахер брить самого себя? Рассмотрим оба варианта, в первом из которых он сам себя бреет, а во втором – не бреет.

• Допустим, что деревенский парикмахер сам себя бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые бреются сами и которых не бреет парикмахер, следовательно, в этом случае, он сам себя не бреет.
• Теперь предположим, что деревенский парикмахер сам себя не бреет, но тогда он относится к тем жителям деревни, которые не бреются сами и которых бреет парикмахер, следовательно, в этом случае он сам себя бреет.

Как видим, получается невероятное: если деревенский парикмахер сам себя бреет, то он сам себя не бреет; а если он сам себя не бреет, то он сам себя бреет (два противоречащих суждения являются одновременно истинными и взаимообуславливают друг друга).

Парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера» вместе с другими подобными им парадоксами также называют антино́миями (греч. antinomia – «противоречие в законе»), т. е. рассуждениями, в которых доказывается, что два высказывания, отрицающие друг друга, вытекают одно из другого.

Считается, что антиномии представляют собой наиболее крайнюю форму парадоксов. Однако довольно часто термины «логический парадокс» и «антиномия» рассматриваются как синонимы.

Протагор и Эватл

Менее удивительную формулировку, но не меньшую известность, чем парадоксы «лжеца» и «деревенского парикмахера», имеет парадокс «Протагор и Эватл», также появившийся в Древней Греции.

В основе этого логического парадокса лежит незатейливая на первый взгляд история, которая заключается в том, что у софиста Протагора был ученик Эватл, бравший у него уроки логики и риторики.

Учитель и ученик договорились, что Эватл заплатит Протагору гонорар за обучение только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс.

Однако по завершении обучения Эватл не стал участвовать ни в одном процессе и денег учителю, разумеется, не платил. Протагор пригрозил ему, что подаст на него в суд и тогда Эватлу в любом случае придется заплатить.

– Тебя или присудят к уплате гонорара, или не присудят, – сказал ему Протагор, – если тебя присудят к уплате, ты должен будешь заплатить по приговору суда; если же тебя не присудят к уплате, то ты, как выигравший свой первый судебный процесс, должен будешь заплатить по нашему уговору.

На это Эватл ему ответил:

– Все правильно: меня или присудят к уплате гонорара, или не присудят; если меня присудят к уплате, то я, как проигравший свой первый судебный процесс, не заплачу по нашему уговору; если же меня не присудят к уплате, то я не заплачу по приговору суда.

Таким образом, вопрос о том, должен Эватл заплатить Протагору гонорар или нет, является неразрешимым.

Договор учителя и ученика, несмотря на его вполне невинный внешний вид, является внутренне, или логически, противоречивым, так как он требует выполнения невозможного действия: Эватл должен и заплатить за обучение, и не заплатить одновременно.

В силу этого сам договор между Протагором и Эватлом, а также вопрос об их тяжбе представляет собой не что иное, как логический парадокс.

Решить этот спор можно было бы лишь в том случае, если бы обе стороны соблюдали закон тождества и в качестве основания для уплаты или неуплаты брали что-нибудь одно: либо решение суда, либо свой договор.

Как избегать логических ошибок

Как же научиться не делать логических ошибок, то есть мыслить правильно, во всех случаях, по каким угодно вопросам, знакомым или впервые встретившимся, о каких угодно предметах, привычных и непривычных?

Повседневная жизненная пpaктика, «здравый смысл», как уже говорилось, во многих случаях помогают избежать логических ошибок, однако отнюдь не гарантируют избавление от них.

Конечно, чем шире пpaктика, чем с большим количеством разнообразных предметов и видов деятельности сталкивается человек, тем больше возможностей он имеет для развития у себя правильного мышления.

Расширение кругозора, углубление фактических знаний, знакомство с самыми различными рассуждениями, несомненно, способствуют развитию мышления вообще.

Широко образованный, развитой человек быстрее заметит логическую ошибку в рассуждении даже и тогда, когда она не касается непосредственно его специальности, его обычных, повседневных занятий.

Поэтому изучение различных наук имеет большое значение, ведь каждая наука так или иначе, в той или иной степени связана с рассуждениями.

Использованная литература:

Авенир Уемов «Логические ошибки»,

Дмитрий Гусев «Удивительная логика».