С вероятностью 0 997 определить предельную ошибку выборочной средней

Задача 5.1.

Имеется информация о выпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочного наблюдения по предприятиям области:

Определить: 1) по предприятиям, включенным в выборку: а) средний размер произведенной продукции на одно предприятие; б) дисперсию объема производства; в) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.; 2) в целом по области с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать: а) средний объем производства продукции на одно предприятие; б) долю предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб.; 3) общий объем выпуска продукции по области.

Решение.

По исходным данным составим таблицу 1

1. Средний размер произведенной продукции на одно предприятие равен

Доля предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб. составляет

t = 2, при р = 0,954.

х − х ≤ μx ≤ х + х,

277 −10,552 ≤ μx ≤ 277 +10,552 , 266,448 ≤ μx ≤ 287,552 ,

т.е. с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний объем производства продукции на одно предприятие генеральной совокупности (по всем предприятиям области) не ниже

0,12 − 0,0308 ≤ p ≤ 0,12 + 0,0308 ,

0,0892 ≤ p ≤ 0,1508 , или 8,92% ≤ p ≤15,08% ,

т.е. с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий с объемом производства продукции более 400 тыс. руб. в генеральной совокупности (по всем предприятиям области) будет находиться в границах не ниже 8,92% и не выше 15,08%.

Общий объем выпуска продукции по области равен

N

Задача 5.2.

По результатам контрольной проверки налоговыми службами 400 бизнес-структур, у 140 из них в налоговых декларациях не полностью указаны доходы, подлежащие налогообложению. Определите в генеральной совокупности (по всему району) долю бизнесструктур, скрывших часть доходов от уплаты налогов, с вероятностью 0,954.

Решение.

Доля бизнес-структур, скрывших часть доходов от уплаты налогов, в выборочной совокупности составляет

t = 2, при р = 0,954. w − w ≤ p ≤ w + w ,

0,35 − 0,048 ≤ p ≤ 0,35 + 0,048 ,

0,302 ≤ p ≤ 0,398 , или 30,2% ≤ p ≤ 39,8% ,

т.е. с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля бизнес-структур, скрывших часть доходов от уплаты налогов в генеральной совокупности (по всему району) будет находиться в границах не ниже 8,92% и не выше 15,08%.

Задача 5.3.

В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:

На основании этих данных вычислите: 1. Средний стаж рабочих цеха.

2.Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.

3.Коэффициент вариации.

4.С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

5.С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Сделайте выводы.

Решение.

Запишем исходные данные в виде таблицы 1.

Среднее квадратическое отклонение равно

σx = σ2x = 40,69 = 6,38 лет.

Коэффициент вариации равен

v = σxx = 156,,3875 = 0,405 , или 40,5%.

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

По условию задачи имеем 10% бесповторную, собственно-случайную, механическую выборку. Т.к. обследовано 10% рабочих, то

Nn = 0,1,

где n = 100 – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.

При доверительной вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Тогда предельная ошибка выборки равна

Определим возможные границы, в которых находится средний размер прибыли в генеральной совокупности:

x − x ≤ μx ≤ x + x .

Подставив имеющиеся данные, получим

15,75 −1,815 ≤ μx ≤15,75 +1,815 , или 13,935 ≤ μx ≤17,565 .

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Выборочная доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет составляет

W = 60/100 = 0,6 или 60%.

Отсюда дисперсия доли равна:

Определим возможные границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет:

W − W ≤ Ω ≤W + W .

Подставив имеющиеся данные, получим

0,461 ≤ Ω ≤ 0,739 , или 46,1% ≤ Ω ≤ 73,9% .

Задача 5.4.

Для определения средней величины заработной платы работников малых предприятий необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество работников нужно отобрать, чтобы ошибка выборки с вероятностью 0,954 не превышала 2 тыс. руб. при среднем квадратическом отклонении 10 тыс. руб.

Решение.

Предельная ошибка признака для случайного повторного отбора равна

отсюда

( х)2 = t 2 σ2 . n

следовательно, n = tσx .

Т.к. по условию σ =10 и t = 2, при р = 0,954, то имеем n = tσx = 2 210 =10 чел.

Таким образом, необходимо отобрать не менее 10 работников, чтобы ошибка выборки с вероятностью 0,954 не превышала 2 тыс. руб.

Задача 5.5.

Среди выборочно обследованных 13000 семей по уровню дохода-(выборка бесповторная, 2%) малообеспеченных оказалось – 3900 семей. Определите с вероятностью 0,997 долю малообеспеченных семей во всем регионе.

Решение.

Т.к. обследовано 2% семей, то

Nn = 0,02 ,

где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности. При доверительной вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Выборочная доля малообеспеченных семей составляет

W = 3900/13000 = 0,3 или 30%.

Отсюда дисперсия доли равна:

σW2 =W (1 −W ) = 0,3 0,7 = 0,21.

Тогда предельная ошибка выборки равна:

Определим возможные пределы доля малообеспеченных семей:

W − W ≤W ≤W + W .

Подставив имеющиеся данные, получим

0,298 ≤W ≤ 0,312 , или 29,8% ≤W ≤ 31,2% .

Задача 5.6.

Для определения среднего возраста студентов вуза с числом студентов 1250 был зафиксирован возраст 87 студентов (см. табл.)

Определите:

1)средний возраст студентов выборки;

2)среднеквадратическое отклонение возраста по выборке;

3)99% доверительный интервал для среднего возраста студентов вуза.

Решение.

Средний возраст студентов выборки равен

где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.

При доверительной вероятности p = 0,99 коэффициент доверия t = 2,58. Тогда

Определим возможные границы, в которых находится средний возраст в генеральной совокупности:

x − x ≤ μx ≤ x + x .

Подставив имеющиеся данные, получим

19,14 −0,529 ≤ μx ≤19,14 +0,529 , или 18,61 ≤ μx ≤19,67 .

Задача 5.7.

В городе проводится обследование семей с целью выявления доли расходов семейных бюджетов на оплату жилья. Предыдущее аналогичное обследование дало результат в 21,6%. Сколько нужно обследовать семей, чтобы с вероятностью 0,99 и точностью не менее 0,5% определить эту долю?

Задача 5.8.

Для оценки стоимости основных средств региона проведен 5%-ный механический отбор, в результате чего установлено:

Определить:

1)с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать среднюю стоимость основных средств на одно предприятие и долю предприятий со стоимостью выше 50 млн. р. В целом по региону;

2)ожидаемую сумму налога на имущество (2%) со стоимости основных средств по обследованной группе предприятий и по региону в целом.

Сделать выводы.

Решение.

Преобразуем исходную таблицу, сопоставив интервалам стоимости основных средств их средние значения. В результате получим следующую таблицу

1. Определим вначале среднюю стоимость основных средств на одно предприятие по формуле средней арифметической взвешенной

По формуле моментов дисперсия стоимость основных средств на одно предприятие равна

По условию задачи имеем бесповторную, собственно-случайную, механическую выборку.

Определим возможные границы, в которых находится средняя стоимость основных средств на одно предприятие:

x − x ≤ μx ≤ x + x .

Подставив имеющиеся данные, получим

26,35 −0,884 ≤ μx ≤ 26,35 +0,884 , или 25,466 ≤ μx ≤ 27,234 .

Выборочная доля предприятий со средней стоимостью основных средств выше 50 млн. р. составляет

W = 74/1000 = 0,074 или 7,4%.

Отсюда дисперсия доли равна:

σW2 =W (1 −W ) = 0,074 0,926 = 0,0685 .

Тогда предельная ошибка выборки равна:

Возможные пределы среднего значения доли предприятий со средней стоимостью основных средств выше 50 млн. р. составляют

W − W ≤W ≤W + W .

Подставив имеющиеся данные, получим

0,0689 ≤W ≤ 0,0791 , или 6,89% ≤W ≤ 7,91% .

Ожидаемая сумма налога на имущество (2%) со стоимости основных средств по обследованной группе предприятий составит

R = 0,02nx = 0,02 1000 26,35 = 500 26,35 = 527 млн. р.

Ожидаемая сумма налога на имущество (2%) со стоимости основных средств по региону в целом составит

25,466 500 20 ≤ Rx ≤ 27,234 500 20 , или 25465,9 ≤ Rx ≤ 27234,1.

Задача 5.9.

На оптовую базу поступила партия товара. После тщательного осмотра каждой единицы товара определялось и фиксировалось его качество. К какому виду наблюдения (и по каким признакам) можно отнести это обследование товара.

Решение.

Статистическое наблюдение – это планомерный научно обоснованный сбор данных или сведений о явлениях и процессах общественной жизни.

По организационной форме статистического наблюдения – это специально организованное наблюдение.

По виду статистического наблюдения – это:

—единовременное наблюдение (по времени регистрации фактов), т.к. проводилось только для данной партии товара;

—сплошное (по охвату единиц совокупности), т.к. проверялся весь товар из партии.

По способу статистического наблюдения – это непосредственное наблюдение, т.к. каждая единица товара подвергалась тщательному исследованию.

Задача 5.10.

Посредством случайной бесповторной выборки было обследовано 100 рабочих по стажу работы из общей численности 950 чел. На основе обследования был составлен ряд распределения:

Определите с вероятностью 0,997, в каких пределах находится доля рабочих со стажем свыше 20 лет в общей численности рабочих по предприятию.

Решение.

По условию задачи имеем бесповторную, собственно-случайную, механическую выборку.

Из условия известно, что выборочная доля рабочих со стажем свыше 20 лет составляет

W = 20/100 = 0,2 или 20%.

Отсюда дисперсия доли равна:

Подставив имеющиеся данные, получим

0,0947 ≤W ≤ 0,3135 или 9,47% ≤W ≤ 31,35% .

Т.е., с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля рабочих со стажем свыше 20 лет в общей численности рабочих по предприятию находится в пределах от 9,47% до 31,35%.

Задача 5.11.

Для установления среднего возраста 50 тыс. читателей библиотеки необходимо провести выборку из читательских карточек методом механического отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратичное отклонение возраста читателей равно 10 годам. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки будет не более трех лет. (Данные условные).

Решение.

Имеем собственно-случайную механическую выборку. Минимально необходимая численность выборки для бесповторного отбора определяется по формуле:

где N = 50000 – общее количество читателей; t = 2 – коэффициент доверия для доверительной вероятности 0,954; σ = 10 – среднее квадратичное отклонение возраста читателей; = 3 – предельная ошибка выборки.

Подставив в расчетную формулу исходные данные, получим:

Таким образом, необходимо проверить не менее 45 читателей.

Задача 5.12.

Из партии импортируемой продукции на посту Московской региональной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта A. В результате проверки установлена средняя влажность продукта A в выборке, которая оказалась равной 6% при среднем квадратическом отклонении 1%. С вероятностью 0,683 (t = 1) определите пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.

Решение.

По условию задачи имеем: x = 6% , σ =1% , n = 20 .

По условию задачи имеем повторную выборку, следовательно, средняя ошибка выборки равна

При доверительной вероятности p = 0,683 коэффициент доверия t = 1. Тогда предельная ошибка выборки равна

x = t μ =1 0,2236 = 0,2236 .

Определим возможные пределы генеральной средней влажность продукта A: x − x ≤ M[x] ≤ x + x .

Подставив имеющиеся данные, получим

5,7764 ≤ M [x] ≤ 6,2236 .

Задача 5.13.

Каким должен быть объем случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 10000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 20, предельной ошибке, не превышающей 5? И вероятности 0,997 (t = 3)?

Решение.

Необходимый объем выборки для случая бесповторного отбора равен

Задача 5.14.

Из 5% опрошенных выпускников университета 30% удовлетворены полученными знаниями за время обучения. Какова должна быть численность выборки, чтобы ошибка доли не превышала 0,05 (с вероятностью 0,954 и количестве выпускников 200 человек).

Решение.

Имеем собственно-случайную бесповторную выборку. Дисперсия доли равна

σW2 =W (1 −W ) = 0,3 0,7 = 0,21.

Минимально необходимая численность выборки определяется по формуле:

Задача 5.15.

В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:

На основании данных вычислите:

1.Средние затраты времени на изготовление одной детали.

2.Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.

3.Коэффициент вариации.

4.С вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление другой детали на заводе.

5.С вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 28 мин.

Сделайте выводы.

Решение.

Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и найдем середины интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице:

1. Средние затраты времени на изготовление одной детали определим по формуле средней арифметической взвешенной

y= ∑yi ni = ∑yi ni .

∑ni n

Подставив в последнюю формулу известные значения, получим средние затраты времени на изготовление одной детали

4. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2. Поскольку дана 10%-ная случайная бесповторная выборка, то

Nn = 0,1, где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.

Считаем также, что дисперсия σ y2 = s2 =14,84 . Тогда предельная ошибка выборочной средней равна

Определим теперь возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе

y − y ≤ my ≤ y + y , или 24,669 ≤ m y ≤ 26,131 .

Т.е., с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние затраты времени на изготовление другой детали на заводе находятся в пределах от 24,669 до 26,131 мин.

5. Выборочная доля w числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 28 мин. равна

w = 20100+ 50 = 0,7 = 70 %.

Учитывая, что при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2, вычислим предельную ошибку выборочной доли

Пределы доли признака во всей совокупности:

70% −8,69% ≤ d ≤70% +8,69%, или 61,31% ≤ d ≤ 78,69% .

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 28 мин., находятся в пределах от 61,31% до 78,69% от всей партии деталей.

Выводы.

1.Так как коэффициент вариации меньше 33 %, то исходная выборка однородная.

2.Более двух третей деталей имеют время изготовления от 20 до 28 мин. Это свидетельствует о стабильной работе на заводе по выпуску данной детали.

Задача 5.16.

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5%-ная механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении – 9 дней. В пяти счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться средний срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней.

Решение.

По условию задачи имеем бесповторную, собственно-случайную, механическую выборку.

1. Определим пределы, в которых будет находиться средний срок пользования краткосрочным кредитом.

Дисперсия и среднее срока пользования краткосрочным кредитом составляют соответственно σ2x = 9 2 = 81, x = 30 . Т.к. обследовано 5% счетов, то Nn = 0,05 , где n – объем

выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.

При доверительной вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2. Тогда предельная ошибка выборки равна

2. Определим пределы, в которых будет находиться доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней.

Выборочная доля счетов, у которых сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней равна

W = 5/100 = 0,05, или 5%.

Отсюда дисперсия доли равна:

Подставив имеющиеся данные, получим

0,0288 ≤W ≤ 0,0712 , или 2,88% ≤W ≤ 7,12% .

Задача 5.17.

Заработная плата бригады характеризуется следующими данными:

Проверить правило сложения дисперсии и указать велико ли влияние профессии на различие в уровне заработной платы.

Решение.

Правило сложения дисперсии имеет вид:

s 2 = sмод2 + sост2 ,

где используются следующие дисперсии: общая sy2 , межгрупповая sмод2 и внутригрупповая

sост2 .

Средняя зарплата всех рабочих равна:

Определим влияние профессии на различие в уровне заработной платы. Расчетное значение F-отношения равно:

это очень малое значение. Поэтому можно сделать вывод о том, что различие в профессии рабочих на их зарплату влияния практически не оказывает.

Задача 5.18.

В городе исследуются затраты времени жителей на ведение домашнего хозяйства. Опрошено 109 мужчин и 191 женщин. При этом выяснилось, что мужчины тратят в среднем 2,5 часа при среднем квадратическом отклонении 20 мин., а женщины – 3,5 часа при среднем квадратическом отклонении 10 мин. Найти 99% доверительный интервал для разности значений среднего времени, затрачиваемого женщинами и мужчинами на домашние работы.

Решение.

Выборка получена при бесповторном отборе. Отсюда предельные ошибки равны

99% доверительный интервал для разности значений среднего времени, затрачиваемого женщинами и мужчинами на домашние работы найдем как разность между двумя найденными доверительными интервалами для мужчин и женщин (в минутах)

( y − x − y − x ; y + x + y + x ) = (60 −1,883 −5,024; 60 +1,883 +5,024) = (53,09; 66,91) .

Задача 5.19.

Для анализа товарооборота магазинов города выборочным методом было проведено обследование 60% магазинов. Результаты выборки представлены в таблице (цифры условные):

где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.

При доверительной вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Тогда предельная ошибка выборки равна

x = t μ = 3 1,4374 = 4,3123 .

Определим возможные пределы генеральной средней товарооборота

x − x ≤ M[x] ≤ x + x .

Подставив имеющиеся данные, получим

89,488 ≤ M[x] ≤ 98,112 .

2. Выборочная доля w магазинов с товарооборотом более 100 тыс. руб. равна:

Задача 5.20.

Для определения среднего возраста планируется обследование населения города методом случайного поиска. Численность населения города составляет 1704000 человек. Каков должна быть необходимый объем выборочной совокупности, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 лет при среднем квадратическом отклонении 25 лет.

Решение.